Kezdőlap


Feladat:	2569. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Weiner Mihály
Füzet:	1991/november, 427 - 428. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Rugalmas erő, Nehézségi erő, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/április: 2569. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A titánfaló zöld kicsi emberke (TIZÖLKIE) mozgási energiáját a gravitációs helyzeti energia megváltozásából számíthatjuk ki. Ez az energiaváltozás azonban a két balesetnél egyenlő nagyságú, hiszen a különbségük a kibányászott $A O$ átmérőjű titángömbhöz viszonyított energiaváltozás, ami az $A$ és az $O$ pont szimmetrikus helyzete miatt nyilván nulla. Ezek szerint a két balesetnél a két TIZÖLKIE mozgási energiája megegyezik, becsapódási sebességük aránya $v_{1} / v_{2} = 1$ , ‐ olvashatjuk a KOBALKIVI szakértőjének jelentésében.
Az esési idők meghatározásához ki kell derítenünk, hogy milyen út‐idő függvény írja le a TIZÖLKIE zuhanását az egyik, illetve a másik esetben. Ismert, hogy egy homogén gömb belsejében a gravitációs gyorsulás nagysága a középponttól mért távolsággal arányos (1. ábra).

1. ábra

Ha az

R

sugarú gömb felszínén a nehézségi gyorsulás

g_{0}

, akkor a próbafurat belsejében a középponttól

x

távolságban egy

m

tömegű testre

\begin{matrix} F_{1} (x) = \frac{m g_{0}}{R} x \end{matrix}

erő hat. Látjuk, hogy az első balesetnél a zuhanó TIZÖLKIE

D = m g_{0} / R

rugóállandójú harmonikus rezgőmozgásnak megfelelően mozog, az esési ideje (a teljes rezgésidő negyede) tehát

\begin{matrix} t_{1} = \frac{1}{4} \cdot 2 π \sqrt[]{\frac{m}{m g_{0} / R}} = \frac{π}{2} \sqrt[]{\frac{R}{g_{0}}} . \end{matrix}

A második balesetnél fellépő

F_{2} (x)

erő akkora kell legyen, hogy ha hozzáadjuk a kibányászott kis gömb gravitációs vonzóerejét, az eredeti állapotnak megfelelő

F_{1} (x)

-t kapjuk meg (2. ábra).

2. ábra

\begin{matrix} F_{2} (x) + \frac{m g_{0}}{R} (x - \frac{R}{2}) = F_{1} (x) . \end{matrix}

(Felhasználtuk, hogy a "rugóállandó'' nagysága csak a gömb tömegsűrűségétől függ, emiatt a kis gömbre is ugyanakkora, mint a Titán kisbolygó egészére.) A fenti összefüggés szerint

\begin{matrix} F_{2} (x) = \frac{m g_{0}}{2}, \end{matrix}

a KIZÖLKIE tehát állandó

a = g_{0} / 2

gyorsulással esik és

\begin{matrix} t_{2} = 2 \sqrt[]{\frac{R}{g_{0}}} \end{matrix}

idő alatt zuhan az

R

mélységű üreg fenekére. Az esési idők aránya

\begin{matrix} \frac{t_{1}}{t_{2}} = \frac{π}{4} \approx 0,78. \end{matrix}

Weiner Mihály (Bp., Hermina úti Ált. Isk. 8. o. t.) dolgozata alapján