Kezdőlap


Feladat:	2567. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bakos Tamás , Egyedi Péter , Fedorcsák Péter , Monori András , Somlai Ákos
Füzet:	1992/január, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Wien-féle eltolódási törvény, Hővezetés, Folyadékok, szilárd testek fajhője, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/április: 2567. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minthogy hőmérséklete igen magas, a volfrámszál elsősorban hősugárzás útján veszít energiájából. Az abszolút fekete test sugárzását leíró Stefan‐Boltzmann-törvény szerint az izzószál egységnyi felületű darabja egységnyi idő alatt $E = σ T^{4}$ energiát sugároz ki $2 π$ térszögbe, ahol $σ = 5,67 \cdot 10^{- 8} {W/(m}^{2} K^{4}) .$ Olyan kis $Δ t$ idő alatt, amely során hőmérséklete állandónak tekinthető, a szál

\begin{matrix} Δ Q = σ {A T}^{4} \cdot Δ t \end{matrix}

hőt ad le, ahol

A

a szál felszíne. A leadott hő miatt csökken a szál hőmérséklete,

\begin{matrix} Δ Q = - m c Δ T (Δ T < 0), \end{matrix}

ahol

m

a szál tömege,

c

a fajhője. A két egyenlőségből azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} σ A T^{4} \cdot Δ t = - m c Δ T, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} Δ t = - \frac{c m}{σ A} \frac{Δ T}{T^{4}} . \end{matrix}

Ha az izzószál keresztmetszetének sugarát

r

-rel, az izzószál hosszát

l

-lel, sűrűségét

ϱ

-val jelöljük, akkor

A = 2 r π l, m = r^{2} π l ϱ,

tehát

\begin{matrix} Δ t = - \frac{c r ϱ}{2 σ} \frac{Δ T}{2 T^{4}} . \end{matrix}

a) Ha a hőmérsékletváltozás kicsi az eredeti hőmérséklethez képest

(100 ≪ 2700),

akkor a keresett időt a fenti összefüggésből számíthatjuk. A megadott adatokkal

\begin{matrix} Δ t = 1,16 \cdot 10^{- 3} s. \end{matrix}

b) Nagyobb hőmérsékletváltozás esetén az egyenletet integrálni kell:

\begin{matrix} \int_{0}^{t} d t = - \frac{c r ϱ}{2 σ} \int_{T_{0}}^{T_{1}} \frac{d T}{T^{4}}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} t = \frac{c r ϱ}{6 σ} (\frac{1}{T_{1}^{3}} - \frac{1}{T_{0}^{3}}) . \end{matrix}

T_{0} = 2700 K, T_{1} = 700 K

esetén

t = 0,54 s.

Megjegyzések 1. A b) esetben az izzószál abszolút fekete testtel való közelítése már nem túl jó közelítés. A viszonylag alacsony hőmérséklet miatt ilyenkor a sugárzás mellett a hővezetés is lényeges szerepet játszik.
2. Az integrálás helyett úgy is eljárhatunk, hogy az a) pontbeli módszerrel kiszámítjuk, mennyi idő alatt hűl le az izzószál

100

fokot, majd újabb

100

fokot stb., s ezeket az időtartamokat összeadjuk.