Kezdőlap


Feladat:	2563. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bíró János , Doka Gyula , Pajor Tibor , Weiner Mihály
Füzet:	1991/november, 424 - 425. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Görbevonalú mozgás lejtőn, Mozgási energia, Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/április: 2563. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a parabola alakú lejtő egyenlete az 1. ábrán látható koordinátarendszerben $y = a \cdot x^{2}$ , ahol az $a$ mennyiség ${(hosszúság)}^{- 1}$ dimenziójú állandó.

1. ábra

h

magasságából indítjuk a testet, akkor annak sebessége a lejtő alján vízszintes irányú és

v_{0} = \sqrt[]{2 g h}

nagyságú lesz.
A lejtő elhagyása után a test vízszintes irányú elmozdulása

t

idő alatt

\begin{matrix} x = v_{0} t, \end{matrix}

függőleges elmozdulása pedig

\begin{matrix} y = - \frac{g}{2} t^{2} . \end{matrix}

Ezen két mennyiség között fenn kell álljon az

y = - a x^{2}

összefüggés, ekkor lesz a szabadon eső test pályája a lejtőével egybevágó. A fenti egyenletekből az indítás magasságára

\begin{matrix} h = \frac{1}{4 a} \end{matrix}

adódik.
Doka Gyula (Gyöngyös, Berze N. J. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Megmutatjuk, hogy a feladat követelményeinek olyan indítási pont tesz eleget, amelynél a lejtőnek a vízszintessel bezárt hajlásszöge

45^{\circ}

2. ábra

Tegyük fel, hogy a szabadon eső test pályájának valamely

P

pontjában a vízszintes és a függőleges irányú sebességkomponensek egyenlő

v_{0}

nagyságúak, vagyis a test sebességvektora ebben a pontban a vízszintessel

45^{\circ}

-os szöget zár be. Mivel a szabadesés során csak a függőleges irányú sebesség változik, az

O

és a

P

pont közötti magasságkülönbségnek megfelelő helyzeti energia a

v_{0}

sebességhez tartozó mozgási energiával egyezik meg (

m g h = m v_{0}^{2} / 2

). Ekkor viszont a lejtő

Q

pontjánál (a

P

pont tükörképénél) a test sebessége nulla kellett legyen, hiszen ennek a pontnak az

O

ponthoz viszonyított magassága éppen

h

.
A testet tehát a lejtő azon pontjából kell indítani, amelyiknél a lejtő meredeksége

45^{\circ}

. Megmutatható, hogy egy

y = a x^{2}

egyenletű parabolánál ez az

x = \frac{1}{2 a}

-nak megfelelő

h = \frac{1}{4 a}

magasan fekvő pont.

Weiner Mihály (Bp., Hermina úti Ált. Isk. 8. o. t.)

Megjegyzések: 1. A feladat feltételeinek megfelelő indítási pont éppen a parabola fókuszával azonos magasságban helyezkedik el.

Pajor Tibor (Kecskemét, Katona J. Gimn., II. o. t.)

2. A csúszó és a szabadon eső test azonos alakú pályákon halad, de az egymásnak megfelelő útszakaszokat nem azonos idő alatt futja be. A szabadesés során a vízszintes sebesség mindvégig

v_{0}

, a csúszás során pedig

v < v_{0}

, emiatt a lejtőn csúszó test a pályájának bármelyik szakaszán hosszabb idő alatt halad végig, mint az ugyanezen útszakasznak megfelelő esési idő.

Bíró János (Szolnok, Varga K. Gimn., II. o. t.)