Kezdőlap


Feladat:	2559. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Czirók András
Füzet:	1991/december, 474 - 475. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Balmer-formula (Balmer-sorozat), Ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/március: 2559. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a rendszerre külső erő nem hat, az ütközésre teljesül az impulzusmegmaradás tétele. Az elektron tömege mintegy 2000-szer kisebb a proton tömegénél, ezért a következőkben elhagyjuk, az $m_{p} = m_{H}$ közelítést használjuk.
Az impulzusmegmaradás alakja:

\begin{matrix} m {\vec{v}}_{0} = m ({\vec{u}}_{p} + {\vec{u}}_{H}) . \end{matrix}

a) Ha csak azt követeljük meg, hogy a sebességek nagysága legyen azonos, akkor ezt tetszőleges

v_{0}

esetén ki tudjuk elégíteni, mert az energiamegmaradás is teljesülhet:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m (| {\vec{u}}_{p} |^{2} + | {\vec{u}}_{H} |^{2}) = m u^{2} (| {\vec{u}}_{p} | = | {\vec{u}}_{H} | = u), \end{matrix}

tehát

u = v_{0} / \sqrt[]{2}

, azaz a proton és a hidrogénatom a bejövő proton irányához képest

45^{\circ}

-ban repül ki. Ez teljesülhet, csak megfelelően kell ütköztetni őket (lásd az ábrát). Ha tehát csak azt akarjuk, hogy a sebességek nagysága legyen azonos, tetszőleges kis gyorsítófeszültséget alkalmazhatunk.

b) Ha a sebességvektorok egyenlőségét követeljük meg

({\vec{u}}_{1} = {\vec{u}}_{2})

, akkor nyilván

{\vec{u}}_{p} = {\vec{u}}_{H} = {\vec{v}}_{p} / 2.

Ekkor viszont az energiamegmaradás csak úgy teljesülhet, ha a hidrogénmolekula gerjesztődik az ütközés során. Legyen a gerjesztés energiája

ε

. Így

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} m \frac{v_{0}^{2}}{4} + ε, azaz ε = \frac{m v_{0}^{2}}{4} . \end{matrix}

A gerjesztési energia akkor minimális, ha a hidrogénatom az alapállapotból

(n = 1)

az első gerjesztett állapotba

(n = 2)

kerül. Jelöljük ezt az energiát

ε_{12}

-vel. Nyugalmi helyzetből

U

feszültséggel gyorsított proton sebessége (nemrelativisztikus esetben) az

\begin{matrix} e U = \frac{1}{2} m_{p} v^{2} \end{matrix}

egyenlőségből határozható meg. Így

2 e U / m_{p} = v^{2} ≧ 4 ε_{12} / m_{p}

, tehát

U ≧ 2 ε_{12} / e .

Felhasználva a Balmer-formulát

\begin{matrix} ε_{12} = \frac{m_{e} e^{2}}{8 ε_{0} h^{2}} (1 - \frac{1}{4}), innen U ≧ 20,25 V . \end{matrix}

Tehát ebben az esetben legalább 20,25 V feszültséggel kell a protont gyorsítani.

Czirók András (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján.