Kezdőlap


Feladat:	2556. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Varjú Katalin
Füzet:	1991/december, 473. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	A (mechanikai) feszültség, Hooke-törvény, Rögzített tengely körüli forgás (Merev testek mozgásegyenletei), Kötelek (láncok) dinamikája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/március: 2556. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $A$ a huzal keresztmetszete $(0,5 \cdot 10^{- 6} m^{2})$ , $r$ az eredeti sugár (0,1 m), $ρ$ a réz sűrűsége (8920 kg/m $^{3}$ ), $ω$ a forgás szögsebessége (1000 s $^{- 1}$ ).
Mivel $\sqrt[]{A} ≪ r$ , ezért elhanyagolható az, hogy a gyűrű egyes részei $r$ helyett kb. $r \pm \sqrt[]{A}$ távol vannak a tengelytől.
A rézgyűrűben a forgás során mechanikai feszültség lép fel, az ebből származó erő tartja körpályán a huzal darabjait. Szimmetriaokokból ez a feszültség mindenhol ugyanakkora, azaz bárhol vágnánk el a rézgyűrűt, ugyanolyan $F$ erő kellene a darabok összetartásához. A huzal ezen erő hatására nyúlik, a megnyúlás a Hooke-törvényből számítható ki.

Számoljuk ki előbb

F

-t. Vegyünk a gyűrűből egy

2 α

középponti szögű darabot. Ez körpályán mozog, az ehhez szükséges centripetális erő a két végét húzó

F

nagyságú erők eredője. Az ábráról leolvasható, hogy

\begin{matrix} 2 F sin α = F_{e p} = m ω^{2} r . \end{matrix}

Látni fogjuk, hogy

Δ r ≪ r

, így itt

r

-t írtunk

r + Δ r

helyett. A gyűrűdarab tömege:

m = ρ A r \cdot 2 α

. Ha

α

kicsi, akkor

sin α \approx α

, így

F = ρ A r^{2} ω^{2}

(=44,6 N).
A kezdetben

2 π r

hosszú huzal megnyúlása a Hooke-törvény szerint

\begin{matrix} Δ l = \frac{F \cdot 2 π r}{E \cdot A} = \frac{1}{E} 2 π ρ r^{3} ω^{2} . \end{matrix}

(

E = 8,1 \cdot 10^{10}

Pa a vörösréz rugalmassági modulusa). A kerület tehát

Δ l

-lel nőtt (

2 π r

-ről). Ezért

2 π (r + Δ r) = 2 π r + Δ l

, amiből

\begin{matrix} Δ r = \frac{Δ l}{2 π} = \frac{1}{E} ρ r^{3} ω^{2} = 1,1 \cdot 10^{- 4} m . \end{matrix}

A gyűrű sugara tehát kb. 0,1 mm-rel nőtt meg. (Valóban igaz, hogy

Δ r ≪ r

Varjú Katalin (Szeged, Radnóti M. Gimn., III. o. t,.) dolgozata alapján

Megjegyzések: 1. A "Négyjegyű függvénytáblázatok'' alapján könnyen ellenőrizhető, bogy a huzal nem szakad el ekkora húzóerőre.

2. A megoldók kb. fele kiszámolta a gyűrű össztömegét, majd az ehhez tartozó centripetális erőt, és ezt vette nyújtóerőnek. Ez hibás gondolatmenet, mert egyrészt a centripetális erő mindenhol merőleges a huzalra, tehát nem nyújtja azt, másrészt szimmetriaokokból a centripetális erők eredője nulla. (Vektorokat kell összegezni, nem abszolútértékeket.)