Kezdőlap


Feladat:	2546. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fedorcsák Péter , Megyeri Katalin
Füzet:	1991/november, 418 - 420. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Tömegközéppont mozgása, Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/február: 2546. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Feltételezzük, hogy a testek a vízszintes síkban súrlódásmentesen mozognak.

Mivel a rendszerre vízszintes irányú külső erők nem hatnak, a tömegközéppont állandó

v

sebességgel mozog, és a két test a tömegközéppont körül egyenletesen, állandó

ω

szögsebességgel forog.

1. ábra

A tömegközéppont sebességét az

\begin{matrix} (m_{1} + m_{2}) v = m_{2} v_{0}, \end{matrix}

a helyzetét pedig az

\begin{matrix} r_{1} \cdot m_{1} = r_{2} m_{2} és r_{1} + r_{2} = L \end{matrix}

összefüggésekből határozhatjuk meg (1. ábra):

\begin{matrix} v = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{0} és r_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} L . \end{matrix}

A rendszer szögsebességét például az

r_{2} ω = v - v_{0}

összefüggésből számíthatjuk ki, és az

ω = v_{0} / L

-nek adódik.
Az

m_{1}

tömegű test

a_{1} = v^{2} / r_{1}

gyorsulással mozog, a rá ható erő tehát

\begin{matrix} F = m_{1} \cdot a_{1} = m_{1} \cdot {(\frac{m_{2} v_{0}}{m_{1} + m_{2}})}^{2} \cdot \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{2} L} = \frac{m_{1} \cdot m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot \frac{v_{0}^{2}}{L} . \end{matrix}

Ugyanezt az értéket úgy is megkaphatjuk, hogy az

m_{2}

tömeget az

a_{2} = {(v_{0} - v)}^{2} / r_{2}

gyorsulással szorozzuk össze.
A fonalat tehát

\begin{matrix} F = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cdot \frac{v_{0}^{2}}{L} \end{matrix}

erő feszíti. Ez az erő éppen akkora, amekkora egy

m = m_{1} m_{2} / (m_{1} + m_{2})

tömegű test

v_{0}

sebességű körmozgásához szükséges, ha a körpálya sugara

L

. Az

m

mennyiséget a két tömegpontból álló rendszer redukált tömegének szokták nevezni.

Megyeri Katalin (Monor, József A. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Ha a fonalat

F

erő feszíti, akkor egy kicsiny

t

idő alatt az egyes testek fonál irányú elmozdulása (2. ábra):

\begin{matrix} s_{1} = \frac{F}{m_{1}} \cdot \frac{t^{2}}{2}, illetve s_{2} = \frac{F}{m_{2}} \cdot \frac{t^{2}}{2} . \end{matrix}

2. ábra

v_{0}

sebességgel mozgó test ezalatt a fonál eredeti irányára merőlegesen is elmozdul

s_{3} = v_{0} \cdot t

távolsággal. Mivel a fonál nyújthatatlan, fenn kell álljon az

\begin{matrix} {(L - s_{1} - s_{2})}^{2} + s_{3}^{2} = L^{2} \end{matrix}

összefüggés. Innen behelyettesítés, átrendezés, valamint a kicsiny

t

mennyiség magasabb hatványainak elhanyagolása után

\begin{matrix} F = {(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}})}^{- 1} \cdot \frac{v_{0}^{2}}{L} \end{matrix}

adódik, összhangban az I. megoldás eredményével.

Fedorcsák Péter (Miskolc, Földes F. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. Sok megoldás ‐ tévesen ‐ úgy érvelt, hogy ha az

m_{1}

tömegű test egy adott pillanatban áll, akkor a másik test mozgása ‐ legalábbis egy rövid ideig ‐ az

m_{1}

tömegű test körüli

L

sugarú körmozgással helyettesíthető, s az ehhez szükséges erő

F = m_{2} v_{0}^{2} / L

. Ez azonban nem igaz! Ha például

v_{0}

sebességgel futunk az

m_{2}

tömegű test sebességével azonos irányban, akkor azt láthatjuk, hogy az

m_{1}

tömegű test mozog

- v_{0}

sebességgel s a másik test áll. A fenti érvelést megismételve a fonalat feszítő erőre most

F = m_{1} \cdot v_{0}^{2} / L

adódna, ellentétben az első eredménnyel.

Úgy is beláthatjuk az

F = m_{2} v_{0}^{2} / L

eredmény hibás voltát, hogy

m_{1}

-t sokkal kisebbnek választjuk, mint

m_{2}

; legyen például

m_{1}

egy szúnyog,

m_{2}

pedig egy elefánt tömege! Nyilvánvaló, hogy ha egy álló szúnyog mellett elszalad egy elefánt és kettejük között egy vékony, nyújthatatlan fonál feszül, akkor nem az elefánt fog körmozgást végezni a szúnyog körül, hanem fordítva! A helyes képletek ezt úgy tükrözik, hogy ha

m_{1} ≫ m_{2}

, vagy

m_{1} ≪ m_{2}

, akkor a redukált tömeg nagyon kicsivé (a kisebb tömeggel közel egyenlővé) válik és a fonálerő is kicsi lesz. Adott össztömeg mellett a fonálerő akkor a legnagyobb, ha

m_{1} = m_{2}

2. Ha a súrlódás nem hanyagolható el, sőt, elegendően nagy, akkor előfordulhat, hogy az

m_{1}

tömegű test állva marad, a fonalat pedig kezdetben

m_{2} v_{0}^{2} / L

erő feszíti. Ennek az a feltétele, hogy a súrlódási együttható legalább

m_{2} v_{0}^{2} / (m_{1} g L)

nagyságú legyen.