Kezdőlap


Feladat:	2545. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Veres Gábor
Füzet:	1991/november, 417 - 418. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felületi feszültségből származó energia, Folyadékok, szilárd testek fajhője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/február: 2545. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismert, hogy a mechanikai rendszerek olyan állapot elérésére törekszenek, ahol mechanikai energiájuk minimális. Azokban az esetekben, ahol a molekuláris kötőerők mellett más erők elhanyagolhatók, a rendszer a lehetséges legkisebb felületű állapot elérésére törekszik. (Ez azért van így, mert a felületen lévő részecskék potenciális energiája nagyobb az anyag belsejében lévő részecskék potenciális energiájánál.) Ilyen jelenséggel állunk szemben (ld. az 1. megjegyzést).
Mint tudjuk, a folyadék felületi energiája $E_{f} = α A$ , ahol $α$ az anyag felületi feszültsége, $A$ pedig a felület nagysága. A két különálló, $r = 1 mm$ sugarú higanycsepp összes felülete és teljes térfogata

\begin{matrix} A = 2 \cdot 4 r^{2} π és V = 2 \frac{4 r^{3} π}{3} . \end{matrix}

Ha a két higanycsepp egyetlen,

V' = V

térfogatú cseppé egyesül, az új sugár

\begin{matrix} r' = \sqrt[3]{\frac{3 V'}{4 π}} = \sqrt[3]{\frac{3}{4 π} \frac{8 r^{3} π}{3}} = \sqrt[3]{2} \cdot r . \end{matrix}

Így az új csepp felülete

\begin{matrix} A' = 4 {(r')}^{2} π = 2^{\frac{2}{3}} \cdot 4 r^{2} π < A . \end{matrix}

Ha a folyamat elég gyors ahhoz, hogy a környezettel való hőcserére nincs idő, akkor a rendszer teljes energiája, vagyis az

E_{b}

belső és

E_{f}

felületi energia összege állandó:

\begin{matrix} E_{b} + E_{f} \approx E'_{b} + E'_{f}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} E'_{b} - E_{b} = E_{f} - E'_{f}, Δ E_{b} = - Δ E_{f} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

\begin{matrix} E'_{b} - E_{b} = c m Δ T = c ρ V Δ T = c ρ \frac{8 r^{3} π}{3} Δ T, \end{matrix}

ahol

c

a fajhő és

ρ

a sűrűség, valamint

\begin{matrix} E_{f} - E'_{f} = α (A - A') = α \cdot 4 r^{2} π (2 - 2^{\frac{2}{3}}), \end{matrix}

az adódik, hogy

\begin{matrix} Δ T = \frac{α \cdot 4 r^{2} π (2 - 2^{\frac{2}{3}})}{c ρ 8 r^{3} π / 3} = \frac{3 α (2 - 2^{\frac{2}{3}})}{2 c ρ r} . \end{matrix}

A szükséges adatok:

α = 0,491 \frac{J}{m^{2}}

;

c = 1381,71 \frac{J}{kgK}

;

ρ = 13546 \frac{kg}{m^{3}}

;

r = 10^{- 3} m .

Így

Δ T = 1,62 \cdot 10^{- 5} K

, tehát a higany csak igen kis mértékben melegszik fel.

Megjegyzések: 1. A megoldás során a gravitációs mező hatását elhanyagoltuk. A folyamat így pl. űrhajóban lebegő (helyesebben a gravitációs mezőben az űrhajóval együtt szabadon eső) cseppekkel végzett kísérletnek felel meg. Amint azt Veres Gábor II. o. t. (Balassagyarmat, Balassi B. Gimn.) helyesen megjegyezte, asztalon fekvő cseppek esetén a cseppek belapulnak, egyesülés során a tömegközéppont magasságváltozását, így a gravitációs mező munkáját nem tudjuk, sőt mivel a lapult csepp felszíne nagyobb a gömb alakúénál, a felszínváltozást sem ismerjük pontosan, így a fenti számítást erre az esetre nem tudnánk elvégezni. A feladat a higanycsepp sugaráról beszél, így sugallja a gömb alakot és ezzel a világűrbéli körülményeket.
2. A termodinamika I. főtétele szerint a belső energia változása

Δ E_{b} = Q + W

. Esetünkben

Q = 0

W = - \sum p (V) \cdot Δ V

; itt

V

megadható

r

függvényében, így

W = - \sum p (r) \cdot [V (r + Δ r) - V (r)]

p (r) = 2 α / r

a folyadékcsepp belsejében a környezethez képest uralkodó túlnyomás, az ún. görbületi nyomás. Ha így végezzük a számítást, a fentiekkel azonos eredményt kapunk. Ezt el is várjuk, hiszen ugyanannak az erőnek a munkáját írtuk fel kétféleképpen.
Egy gömb sugarát megnövelve megnő a felülete és térfogata is. A felület növelésekor az érintőleges irányú felületi erők ellenében

\begin{matrix} W = α \cdot Δ A = α \cdot 4 π [{(r + Δ r)}^{2} - r^{2}] = α \cdot 4 π \cdot 2 r Δ r \end{matrix}

munkát végzünk. Egy gömbfelszín-darabra összegezve e felületi erőket, eredőként egy középpont felé mutató erőt kapunk. Ez az erő tart egyensúlyt a görbületi nyomásból származó nyomóerővel. Így a végzett munka

W = p Δ V = (2 α / r) \cdot 4 r^{2} π Δ r = α \cdot 8 π \cdot r Δ r

, mint az előbb.