Kezdőlap


Feladat:	2538. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1991/december, 470 - 471. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Newton-féle gravitációs erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1991/január: 2538. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jégtábla nem forog együtt a Földdel, ezért a hozzá rögzített koordináta-rendszer inerciarendszernek tekinthető. Legyen rendszerünk origója a sarkpont, $z$ -tengelye essen egybe a Föld tengelyével, $x$ -tengelye pedig menjen át a test kezdeti helyzetén.

Mivel a súrlódástól eltekintünk, a testre két erő hat: a Föld középpontja felé mutató

m \vec{g}

gravitációs erő és a jégtábla

\vec{N}

támaszereje, amely merőleges a táblára. A

z

-irányú erőkomponensek összege nulla

(N = m g cos α)

, így az eredő erő

m g sin α

nagyságú, és a test helyzetétől függetlenül az origó felé mutat. Mivel a test álló helyzetből indul, az eredő erő pedig mindvégig az origó felé mutat, a test az

x

-tengely mentén fog mozogni. Kihasználva, hogy

α

igen kicsi,

sin α \approx tg α = | x | / R

(

x

a test helykoordinátája), ami azt jelenti, hogy a test távolsága a Föld középpontjától a mozgás során nem változik számottevően. Ennek segítségével a test mozgásegyenlete:

\begin{matrix} m a_{x} = F_{x} = - m g \frac{x}{R}, \end{matrix}

ahol a negatív előjel mutatja, hogy az erő a kitéréssel ellentétes irányú. Így

\begin{matrix} a_{x} = - \frac{g}{R} x, \end{matrix}

vagyis a test az origó körül harmonikus rezgőmozgást fog végezni. Összevetve ezt a rezgőmozgás

a_{x} = - ω^{2} x

egyenletével, a rezgés körfrekvenciája

\begin{matrix} ω = \sqrt[]{\frac{g}{R}} = 1,24 \cdot 10^{- 3} \frac{1}{s} . \end{matrix}

A jégtábla középpontjába, vagyis az origóba a test nyilván negyed periódus megtétele után érkezik, tehát az eltelt idő

\begin{matrix} t = \frac{T}{4} = \frac{π}{2 ω} = \frac{π}{2} \sqrt[]{\frac{R}{g}} = 1263 s \approx 21 perc . \end{matrix}

A jégtábla közepén a test sebessége maximális,

\begin{matrix} v = d \cdot ω = d \sqrt[]{\frac{g}{R}} = 12,4 \frac{m}{s}, \end{matrix}

ahol

d = 10

km a rezgés amplitúdója, itt a jégtábla sugara.