Kezdőlap


Feladat:	2528. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Farkas Zénó , Megyeri Katalin , Molnár-Sáska Gábor
Füzet:	1991/november, 411 - 413. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kötelek (láncok) dinamikája, Mozgási energia, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/december: 2528. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A lánc a lejtő irányába fog csúszni, erre ugyanis $3 ρ g sin 30^{\circ} = 1,5 ρ g$ , ellenkező irányba pedig csak $1 ρ g$ erő húzza ( $ρ$ -val az $1 m$ hosszúságú lánc tömegét jelöltük). A feladatot három részre bontjuk:
I. Az 1 m-es darab még nem ért a lejtő tetejére.
II. A teljes lánc a lejtőn van.
III. A lánc egy része már a vízszintes szakaszra ért.

1. ábra

I. Legyen a lánc elmozdulása

x

! Számoljunk úgy, mintha az

x

(méter) hosszúságú darab a lelógó végéről a másik oldalra került volna! Ha a helyzeti energiát a lejtő tetejétől mérjük, akkor e darab helyzeti energiája kezdetben

\begin{matrix} E_{1} = - x ρ g (1 - \frac{x}{2}), \end{matrix}

amikor pedig átkerül a másik oldalra

\begin{matrix} E_{2} = - x ρ g (3 + \frac{x}{2}) sin 30^{\circ} . \end{matrix}

A sebességet az energiatételből számíthatjuk:

\begin{matrix} E_{2} + \frac{1}{2} 4 ρ v^{2} = E_{1}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} v = \sqrt[]{g (\frac{x}{4} + \frac{3 x^{2}}{8})} = \sqrt[]{\frac{5}{2} x + \frac{15}{4} x^{2}} \end{matrix}

(m/s-ban).

II. Amikor a lánc vége éppen eléri a lejtő tetejét, akkor a sebessége

v_{1} = 2,5 m/s

(ezt az előző képletből

x = 1 m

behelyettesítésével kapjuk). Ezen a szakaszon a lánc gyorsulása

a = g \cdot sin 30^{\circ} = 5 {m/s}^{2}

.
A

v^{2} = v_{1}^{2} + 2 a x

összefüggést felhasználva

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{25}{4} + 10 x}, \end{matrix}

ahol

x

most a lejtő tetejétől mért elmozdulás. Amikor a lánc a lejtő aljához ér, vagyis amikor

x = 1 m

, akkor a sebessége,

v_{2} = \sqrt[]{65 / 4} m/s \sim 4 m/s

III. Legyen

x

most az a darab, amely már a vízszintesre ért, és a helyzeti energia nulla szintje legyen a lejtő alja!

2. ábra

x

hosszúságú darab helyzeti energiája kezdetben

\begin{matrix} E_{1} + (4 - \frac{x}{2}) sin 30^{\circ} x ρ g . \end{matrix}

Az energiamegmaradás alakja most

\begin{matrix} E_{1} + \frac{1}{2} 4 ρ \cdot \frac{65}{4} = \frac{1}{2} 4 ρ v^{2}, \end{matrix}

amiből a keresett sebesség

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{65}{4} + x (1 - \frac{x}{8}) \cdot g} . \end{matrix}

x = 4

esetén kapjuk meg a végső sebességet:

\begin{matrix} v_{3} = \sqrt[]{\frac{145}{4}} \frac{m}{s} \approx 6 \frac{m}{s} . \end{matrix}

Megjegyzés: A mozgás III. szakaszában a láncban nyomófeszültségek lépnek fel, s ezért a fentebb leírt mozgás instabil, a lánc könnyen ,,kihajolhat''.