A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A rúdra az 1. ábrán látható erők hatnak, ezek hatására a tömegközéppontja gyorsul, s a rúd tömegközéppontja körül elfordul.
1. ábra Sem a tömegközéppont gyorsulása, sem pedig a szöggyorsulás nem állandó nagyságú, hanem időben bonyolult módon változó mennyiségek. A rúd tömegközéppontja ‐ legalábbis a mozgás első szakaszában ‐ egy sugarú körpályán mozog, ahol =1,5 m a rúd félhosszúsága. A rúd szögsebességét -val, szöggyorsulását -val jelölve a tömegközéppont érintő irányú gyorsulása , sugár irányú gyorsulása pedig . Célszerű olyan mértékegységrendszert (hosszúság, idő- és tömegegységeket) választanunk, melyben ( a rúd tömege). A számolás végén a dimenziókat figyelve könnyen visszatérhetünk a szokásos SI egységekre. A rúd tömegközéppontjának mozgásegyenlete az 1. ábra derékszögű koordináta-rendszerében:
a forgómozgás egyenlete pedig (Ez utóbbi egyenletnél felhasználtuk, hogy a rúd tehetetlenségi nyomatéka a választott mértékegységrendszerben 1/3.) A rúd szögsebessége az energiamegmaradás törvénye segítségével határozható meg. Mivel a rúd tömegközéppontjának sebessége -nál nulla volt, fennáll
| | ahonnan Az (1)‐(4) egyenletekből bármilyen szögre meghatározhatjuk az , , és mennyiségek értékét. Például | | (5) | továbbá | | (6) | Látható, hogy míg tetszőleges esetén pozitív, addig egy bizonyos szögnél, amelyre nullává válik. Ennél a szögnél ‐ melynek numerikus értéke a feladat számadataival arccos ‐ a rúd elválik a függőleges faltól, s a mozgás további részében Az elválás pillanatában a rúd tömegközéppontjának vízszintes sebessége ami (4) és (7) figyelembe vételével
Ez a sebesség a mozgás további részében nem változhat meg, hiszen a rúdra már nem hat vízszintes irányú erő.
2. ábra A rúd tömegközéppontja a továbbiakban függőlegesen lefelé gyorsul valamekkora (időben változó) gyorsulással. A mozgásegyenletek a 2. ábra jelöléseivel:
az energiamegmaradás tétele pedig az | | (11) | alakot ölti, ahol a tömegközéppont függőleges sebessége. Mivel a rúd alsó végének nincs függőleges sebessége, fenn kell álljon a összefüggés is. Hasonlóan, a rúd végpontjának függőleges gyorsulása is nulla, ahonnan Elvben elképzelhető lenne, hogy valamekkora szögnél az erő nullává válik, vagyis a rúd felemelkedik a talajról. A (9)‐(13) egyenletek azonban azt mutatják, hogy ez mégsem következik be (lásd még a 2422. feladat megoldását az 1990/2 számban). A földetérés pillanatában = 90, ekkor a tömegközéppont függőleges sebességére a rúd másik végpontjának teljes sebessége pedig | | adódik. A szokásos SI egységekre úgy térhetünk át, ha a fenti eredményt megszorozzuk , és -ből képezhető sebesség dimenziójú mennyiséggel, -vel, s így végül | | adódik. Az pont sebessége a vízszintestől | | szöggel tér el lefelé.
Megjegyzések. 1. Sok megoldó feltételezte, hogy a rúd tömegközéppontja mindvégig körpályán mozog, s az energiamegmaradás törvényéből számolva a lecsapódás sebességére nagyságú, függőleges irányú vektort kaptak. Ha a tömegközéppont valóban így mozogna, akkor a vízszintes sebessége (amely kezdetben nulla volt) eleinte nőne, majd fokozatosan csökkenve ismét nullává válna. A csökkenő sebesség azonban negatív gyorsulásnak, az pedig negatív vízszintes kényszererőnek felelne meg, s ezt a sima függőleges fal nem képes létrehozni. A feltételezett mozgás más módon, például síneken csúszó csuklókhoz rögzített rúddal megvalósítható. 2. A rúd alsó végpontja nem esik egybe a pillanatnyi forgástengellyel, ezért ezen pontra írva fel a forgómozgás egyenletét ugyancsak hibás eredményt kapunk. 3. A megoldás egyszersmind bemutatja, hogyan lehet ügyes mértékegységrendszer választással egyszerűsíteni a számolást. Aki szerint nem egyszerűbb, hanem furcsább, bonyolultabb lett, az próbálja párhuzamosan, a szokásos egységeket használva, leírni a formulákat, majd vesse össze a két, persze azonos megoldást. |