Kezdőlap


Feladat:	2488. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kárai Péter , Nagy Gyula , Nagy Judit , Scherer Katalin , Varga János
Füzet:	1991/március, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Merev test impulzusnyomatéka (perdülete), Egyéb merev test síkmozgások, Steiner-tétel, Impulzusnyomaték (perdület) megmaradása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/május: 2488. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a pálca-gyűrű rendszer közös tömegközéppontja a pálca végpontjától $y$ távolságra:

\begin{matrix} y = \frac{m \frac{d}{2} + M x}{m + M} . \end{matrix}

(1)

F \cdot Δ t

erőlökés hatására a rendszer tömegközéppontja

v

sebességgel egyenes vonalú egyenletes mozgást, a rendszer pedig a tömegközéppont körül

ω

szögsebességű forgást fog végezni.
A tömegközéppont-tétel alapján:

\begin{matrix} F \cdot Δ t = (m + M) v, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} v = \frac{F \cdot Δ t}{m + M} . \end{matrix}

(2)

A sajátperdület-tétel alapján:

\begin{matrix} F \cdot (x - y) = Θ \frac{ω}{Δ t}, \end{matrix}

(3)

ahol a bal oldalon a tömegközéppontra vonatkozó forgatónyomaték szerepel, jobb oldalon pedig

Θ

a tömegközéppontra vonatkozó tehetetlenségi nyomaték. Ez utóbbi a pálca

Θ_{p}

és a gyűrű

Θ_{g y}

tehetetlenségi nyomatékából adódik össze:

\begin{matrix} Θ_{g y} = M {(y - x)}^{2}, & (4) \\ Θ_{p} = m [\frac{1}{12} d^{2} + {(\frac{d}{2} - y)}^{2}], & (5) \end{matrix}

utóbb felhasználva a Steiner-tételt. Az (1), (4) és (5) egyenletből:

\begin{matrix} Θ = Θ_{p} + Θ_{g y} = \frac{m}{m + M} [M {(\frac{d}{2} - x)}^{2} + \frac{1}{12} (m + M) d^{2}], \end{matrix}

ebből (3) és (1) felhasználásával

\begin{matrix} ω = F \cdot Δ t \frac{\frac{d}{2} - x}{M {(\frac{d}{2} - x)}^{2} + \frac{1}{12} (m + M) d^{2}} . \end{matrix}

(6)

Varga János (Pécs, Leővey K. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A pálca középpontjának sebessége:

\begin{matrix} v_{p} = v + (\frac{d}{2} - y) \cdot ω . \end{matrix}

2. Speciális esetek:
(I.)

x = d / 2

centrális lökés esetén

ω = 0, v = F \cdot Δ t / (m + M)

.
(II.)

M ≪ m :

\begin{matrix} v = F \cdot Δ t / m, ω = \frac{F \cdot Δ t \cdot (d / 2 - x)}{m d^{2} / 12} . \end{matrix}

(III.)

M ≫ m :

\begin{matrix} v = \frac{F \cdot Δ t}{M} . \end{matrix}

A szögsebességet ebben a határesetben nem lehetséges a megadott mennyiségekkel egyértelműen kifejezni, mert nem biztos, hogy elhanyagolható a gyűrű saját súlypontján átmenő tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka.