Kezdőlap


Feladat:	2481. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csuka Miklós , Miklós György
Füzet:	1991/március, 132 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgási indukció, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Egyéb kondenzátor, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/április: 2481. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Kezdetben a rúd nyugszik, ekkor valamilyen kapcsoló zárásakor $I_{0} = U_{0} / R$ áram indul meg rajta keresztül, s ezért $F_{0} = I \cdot l_{0} \times B$ Lorentz-erő kezdi gyorsítani. ( $B$ merőleges a rúdra, ezért $F_{0} = l I_{0} B$ .) A kondenzátor feszültsége az eltávozó töltés miatt csökken, a mozgásba lendülő rúdban pedig $U_{i} = B l v$ feszültség indukálódik, a Lenz-törvény értelmében $U_{c}$ -vel, a kondenzátor feszültségével ellentétesen. Ezért az áramerősség és azzal együtt a rudat gyorsító Lorentz-erő csökken. Amikor az indukált feszültség egyenlő lesz a kondenzátor pillanatnyi feszültségével (lehet, hogy csak $t \to \infty$ határesetben), az áram megszűnik, így a rudat gyorsító erő is; a rúd sebessége ezután már nem változik. Áram hiányában a kondenzátor töltése sem csökken tovább.
A rúd pillanatnyi gyorsulása

\begin{matrix} a (t) = \frac{F (t)}{m} = \frac{B l}{m} \cdot I (t), \end{matrix}

és mivel nyugalomból indult, ezért sebessége

\begin{matrix} v (t) = \int_{0}^{t} a (t') dt' = \frac{B l}{m} \int_{0}^{t} I (t') d t' . \end{matrix}

Az integrál viszont éppen a kondenzátorról

t

idő alatt eltávozott

Δ Q (t)

töltéssel egyenlő, tehát

\begin{matrix} v (t) = \frac{B l}{m} Δ Q (t) . \end{matrix}

Az indukált feszültség

\begin{matrix} U_{i} (t) = B l v (t) = \frac{B^{2} l^{2}}{m} Δ Q (t) . \end{matrix}

A kondenzátor pillanatnyi feszültsége

\begin{matrix} U_{c} = \frac{Q (t)}{C} = \frac{Q_{0} - Δ Q (t)}{C} = U_{0} - \frac{Δ Q (t)}{C} . \end{matrix}

A végsebesség elérésekor

U_{i} (t) = U_{c} (t)

, tehát

\begin{matrix} \frac{B^{2} l^{2}}{m} Δ Q_{max} = U_{0} - \frac{Δ Q_{max}}{C}, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} Δ Q_{max} = \frac{m \cdot U_{0} \cdot C}{m + C B^{2} l^{2}}, \end{matrix}

a maximális sebesség pedig

\begin{matrix} v_{max} = \frac{B l C U_{0}}{m + C B^{2} l^{2}} . \end{matrix}

A kondenzátor töltése ekkor

\begin{matrix} Q_{0} - Δ Q_{max} = \frac{U_{0} C^{2} B^{2} l^{2}}{m + C B^{2} l^{2}} . \end{matrix}

Csuka Miklós (Győr, PÁGISZ, IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A rendszert leíró differenciálegyenletek a következők:

\begin{matrix} \frac{Q (t)}{C} - v (t) B l + R \frac{d Q (t)}{d t} = 0, \\ \frac{d v (t)}{d t} = \frac{l B}{m} I (t) = \frac{l B}{m} \frac{d Q (t)}{d t} . \end{matrix}

A másodikból

v (t) = [(Q_{0} - Q (t))] \cdot l B / m

, ezt az elsőbe helyettesítve és azt megoldva kapjuk, hogy

\begin{matrix} Q (t) = \frac{m U_{0} C}{m + I^{2} B^{2} C^{2}} exp [- (\frac{1}{R C} + \frac{l^{2} B^{2}}{m r}) t] + \frac{l^{2} B^{2} C^{2} U_{0}}{m + l^{2} B^{2} C}, \end{matrix}

és

\begin{matrix} v (t) = \frac{l B C U_{0}}{m + l^{2} B^{2} C} {1 - exp [- (\frac{1}{R C} + \frac{l^{2} B^{2}}{m r}) t]} . \end{matrix}

2. A beküldők majdnem fele energiamegmaradással számolt, elhagyva az

R

ellenálláson veszteségként keletkező Joule-hőt. Ezzel pont a feladat lényegét felejtették ki, így természetesen megoldásuk rossz.