Kezdőlap


Feladat:	2469. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ujváry-Menyhárt Zoltán , Weiner Mihály
Füzet:	1991/január, 44 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/március: 2469. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a lejtő tetején a test sebessége $v_{1} .$

1. ábra

Ez vízszintes irányú, hiszen a test nem emelkedik fel a lejtőről. Mivel súrlódás nincs, felírhatjuk a mechanikai energia megmaradását:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + m g h, \end{matrix}

(1)

innen

\begin{matrix} v_{1} = \sqrt[]{v_{0}^{2} - 2 g h .} \end{matrix}

(2)

Vizsgáljuk azt az esetet, amikor

\frac{1}{2} m v_{0}^{2} > m g h .

Ha ez nem teljesül, a test nem ér föl a lejtő tetejére, vagy ott megáll. A lejtő tehát legfeljebb

\begin{matrix} h_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} = 5 m magas. \end{matrix}

A test a lejtőről való lerepülés után a vízszintes hajítás törvényei szerint mozog. A lerepüléstől a földetérésig eltelt idő:

\begin{matrix} t_{0} = \sqrt[]{\frac{2 h}{g}} . \end{matrix}

(3)

Ezalatt vízszintes irányú sebességkomponense

v_{1} =

állandó, így a földetérés távolsága a lejtő végétől mérve (1. ábra):

\begin{matrix} s = v_{1} t_{0} = \sqrt[]{2 h \frac{v_{0}^{2}}{g} - 4 h^{2}} . \end{matrix}

(4)

E mennyiség maximumát keressük:

\begin{matrix} s = \sqrt[]{{(\frac{v_{0}^{2}}{2 g})}^{2} - {(2 h - \frac{v_{0}^{2}}{2 g})}^{2}} . \end{matrix}

(5)

Látható, hogy

s

akkor maximális, amikor a gyök alatti második tag nulla. Innen az optimális lejtőmagasság:

\begin{matrix} h_{o p t} = \frac{v_{0}^{2}}{4 g} = 2,5 m. \end{matrix}

(6)

Ezt visszaírva a (4) egyenletbe a földetérés maximális távolsága:

\begin{matrix} s_{max} = \sqrt[]{2 h_{o p t} \frac{v_{0}^{2}}{g} - 4 h_{o p t}^{2}} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g} = 5 m. \end{matrix}

(7)

II. megoldás. Zárjon be a test pályája földetéréskor a talajjal

α

szöget (2. ábra).

2. ábra

A becsapódás pillanatában a test sebessége ugyanaz a

v_{0},

amivel elindítottuk a lejtőn, mert mechanikai energiája a folyamat során állandó maradt.
Ha a testet a Föld felszínén

α

szög alatt

v_{0}

sebességgel kilőjük, pályája két, egymásra tükörszimmetrikus részből fog állni, és így

α

szög alatt

v_{0}

sebességgel fog becsapódni (2. ábra).
A lejtőről lerepülő test pályája a lejtőtől való elválás után megegyezik a ferde hajítást végző test pályájának második felével. Feladatunk ily módon átfogalmazható: a földfelszínről adott sebességgel, különböző szögek alatt kilőtt testek legfeljebb milyen

2 s

távolságra juthatnak? Ismert, hogy legmesszebbre az

α = 45^{\circ}

-os szög alatt kilőtt test jut. Ennek sebessége a pálya legfelső pontjában

v_{0} cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} v_{0}

(vízszintes irányban).
Ellenőrizhető, hogy az I. megoldás szerint valóban

v_{1} = \frac{\sqrt[]{2}}{2} v_{0}

. A hajítás magassága

(\frac{v_{0}^{2} {sin}^{2} 45^{\circ}}{2 g} = \frac{v_{0}^{2}}{4 g})

és a hajítási távolság fele

(\frac{1}{2} \cdot \frac{v_{0}^{2} sin 90^{\circ}}{g} = \frac{v_{0}^{2}}{2 g})

valóban megegyezik az előbb kapott

h

-val és

s

-sel.

Ujváry-Menyhárt Zoltán (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o .t.) és
Weiner Mihály (Bp., Sziklai S. Ált. Isk., 7. o. t.) dolgozata alapján