Kezdőlap


Feladat:	2468. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Nagy Gyula , Rendek Ádám , Ujváry-Menyhárt Zoltán
Füzet:	1991/január, 42 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb merev test egyensúlya, Pontrendszer tömegközéppontja, Súlypont (tömegközéppont) meghatározása, Pontrendszer helyzeti energiája, Egyéb munka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/március: 2468. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel homogén gravitációs mezőben a munka nem függ az útvonaltól, csak a szintkülönbségtől, csupán a súlypont emelkedését kell kiszámítani a két esetben.

A tömegközéppontot addig kell emelni, amíg az alapél fölé kerül (

P

).
A két emelési munka:

\begin{matrix} W_{1} = m \cdot g (x - y_{1}) és \end{matrix}

\begin{matrix} W_{2} = m \cdot g (x - y_{2}), \end{matrix}

ahol

x

y_{1}

és

y_{2}

jelentése az ábráról olvasható le. Szükség van tehát a súlypont magasságára álló (

y_{1}

) és oldalára fektetett

(y_{2})

pozíciókban. A középiskolai függvénytáblázatból:

\begin{matrix} y_{1} = \frac{h}{4} . \end{matrix}

A' P_{2} D_{2}

és

A' D' O

hasonló derékszögű háromszögekre:

\begin{matrix} \frac{y_{2}}{P_{2} A'} = \frac{D' O}{O A'}, ahol O A' = \sqrt[]{{(D' A')}^{2} + {(D' O)}^{2}} . \end{matrix}

Pitagorász tételéből, és abból, hogy

P_{2} A' = \frac{3}{4} h

\begin{matrix} y_{2} = \frac{3}{8} \cdot \frac{a h}{\sqrt[]{h^{2} + \frac{a^{2}}{4}}} . \end{matrix}

A két esetben azonos munkát kell végezni, ha

y_{1} = y_{2}

\begin{matrix} \frac{h}{4} = \frac{3}{8} \cdot \frac{a h}{\sqrt[]{h^{2} + \frac{a^{2}}{4}}}, \end{matrix}

azaz, ha

h = \sqrt[]{2} a

\begin{matrix} y_{1} > y_{2}, ha h > \sqrt[]{2} a; ekkor W_{1} < W_{2}, \end{matrix}

tehát könnyebb eldönteni álló pozícióból.

\begin{matrix} y_{1} < y_{2}, ha h < \sqrt[]{2} a; ekkor W_{1} > W_{2}, \end{matrix}

tehát könnyebb felállítani.

Ujvári-Menyhárt Zoltán (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.) és

Nagy Gyula (Jászberény, Liska J. Ip. Szki., II. o. t.) dolgozata alapján

II. megoldás. Az

y_{1}

és

y_{2}

súlypont-magasságok helyett hasonlítsuk össze az

α

és

β

szögeket,

(y_{1} = x \cdot sin α, y_{2} = x sin β)

.
Az

O A D_{1}

, illetve

O P_{1} D_{1}

háromszögekből:

\begin{matrix} tg (α + β) = \frac{h}{a / 2} és tg α = \frac{h / 4}{a / 2} . \end{matrix}

Akkor egyenlő a két munka, ha

α = β

.
Felhasználva a

tg 2 α = \frac{2 tg α}{1 - {tg}^{2} α}

összefüggést, ebből

h = \sqrt[]{2} a

.
A további elemzés hasonló az I. megoldáshoz.

Rendek Ádám (Győr, Révai M. Gimn. II., o. t.)