Kezdőlap


Feladat:	2463. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gidófalvy Elemér
Füzet:	1990/december, 474 - 475. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fizikai inga, Lineáris hőtágulás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/február: 2463. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy fizikai inga lengésideje:

\begin{matrix} T = 2 π {(θ / m g s)}^{1}^{/}^{2}, \end{matrix}

ahol

θ

a tehetetlenségi nyomaték,

m

a rendszer tömege,

s

pedig a tömegközéppont és a felfüggesztési pont távolsága.

A képlet alapján látható, hogy a lengésidő akkor lesz független a hőmérséklettől, ha a

θ / s

hányados független tőle. Először

θ

-t számítjuk ki.

\begin{matrix} θ = θ_{v} + θ_{h}, \end{matrix}

ahol a

v

index a vasat, a

h

index pedig a higanyt jelenti.

\begin{matrix} θ_{v} = \frac{1}{3} m l^{2}, \end{matrix}

ahol

l

a vasrúd hossza. A higany tehetetlenségi nyomatéka a Steiner-tétel felhasználásával (ha a higanyszál hossza

x

\begin{matrix} θ_{h} = \frac{1}{12} m x^{2} + m {(l - \frac{x}{2})}^{2} . \end{matrix}

A tömegközéppont felfüggesztési ponttól mért távolsága:

\begin{matrix} s = \frac{3 l}{4} - \frac{x}{4} . \end{matrix}

x

és

l

mennyiségek hőmérséklettől való függése kis hőmérsékletváltozások esetén a lineáris hőtágulási törvényt követi:

\begin{matrix} l = l_{0} (1 + α_{v} t) \\ x = x_{0} (1 + α_{h} t), \end{matrix}

ahol

l_{0}

és

x_{0}

a szobahőmérsékleten vett hossz,

α

a megfelelő hőtágulási együttható,

t

pedig a hőmérsékletváltozás.
Ezt behelyettesítjük a

θ

-t és

s

-et megadó képletbe, és kifejezzük a

θ / s

hányados hőmérséklettel változó részét (az

x_{0} / l_{0}

hányadost

λ

-val jelöljük):

\begin{matrix} θ / s \sim (t (2 α_{h} λ^{2} - 3 λ (α_{v} + α_{h}) + 8 α_{v}) + λ^{2} - 3 λ + 4) / (t (3 α_{v} - 2 α_{h}) + 3 - λ) . \end{matrix}

t^{2}

-es tagok elhanyagolhatóak.) Ez

t

-ben lineáris kifejezések hányadosa, ami akkor lesz állandó, ha a változó együtthatóinak aránya megegyezik a konstansok arányával. Ezt felírva

λ

-ra a következő harmadfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} λ^{3} α_{h} - λ^{2} 6 α_{h} + (5 α_{h} + 8 α_{v}) - 12 α_{v} = 0. \end{matrix}

Behelyettesítve az

α_{h} = 6 \cdot 10^{-}^{5}

1/K,

α_{v} = 10^{-}^{5}

1/K értéket, azt kapjuk, hogy ennek a harmadfokú függvénynek nincs gyöke a

(0, 1)

intervallumban. Ez azt jelenti, hogy ezzel a két anyaggal nem lehet megvalósítani ezt a fajta kompenzált ingát.

Gidófalvy Elemér (Bp., Arany J. Gimn., IV. o t.) dolgozata alapján