Kezdőlap


Feladat:	2450. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Czirók András
Füzet:	1990/november, 424 - 425. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb kényszermozgás, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Síkinga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1990/január: 2450. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A gyöngy ellipszis pályán mozog, mert a két rögzítési ponttól mért távolságainak összege a fonal hosszával egyenlő (ha a fonal súlytalan), s így állandó. Az ellipszis nagy- és kistengelye:

\begin{matrix} 2 a = 2 s, 2 b = 2 \sqrt[]{s^{2} - \frac{d^{2}}{4}} . \end{matrix}

A kényszererők összmunkája

0

, ezért az energiamegmaradás

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} + m g y = m g y_{0} \end{matrix}

alakú, ahol

y_{0}

a gyöngy

y

-koordinátája a kis rezgés végpontjaiban. Az ellipszis egyenletéből

\begin{matrix} y = - \sqrt[]{s^{2} - \frac{d^{2}}{4}} \sqrt[]{1 - \frac{x^{2}}{s^{2}}} és y_{0} = - \sqrt[]{s^{2} - \frac{d^{2}}{4}} \sqrt[]{1 - \frac{x_{0}^{2}}{s^{2}}}, \end{matrix}

a rezgés két végpontjának koordinátái (

- x_{0}

y_{0}

) és (

x_{0}

y_{0}

x_{0}

így a rezgés

x

-tengelyre eső vetületének amplitúdója. Kis

x

mellett használhatjuk a

\sqrt[]{1 - \frac{x^{2}}{s^{2}}} \approx 1 - \frac{x^{2}}{2 s^{2}}

közelítést.

Ezzel az energiamegmaradást

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = m g \frac{\sqrt[]{s^{2} - \frac{d^{2}}{4}}}{2 s^{2}} (x_{0}^{2} - x^{2}) \end{matrix}

alakban írhatjuk. A kis rezgésnél

v_{y}

jó közelítéssel

0

. Ezért

x = x_{0} sin ω t

és

v \approx ω x_{0} cos ω t

. Behelyettesítve az energiamegmaradás egyenletébe azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} ω^{2} = g \frac{\sqrt[]{s^{2} - \frac{d^{2}}{4}}}{s^{2}}, \end{matrix}

a periódusidő pedig

\begin{matrix} T = \frac{2 π}{ω} = 2 π s \sqrt[]{\frac{1}{g \sqrt[]{s^{2} - d^{2} / 4}}} . \end{matrix}

II. megoldás. Kis kitérésekre a gyöngy mozgását úgy közelíthetjük, mintha az egyensúlyi pont körül az ehhez a ponthoz tartozó simulókörön mozogna. Így a kis rezgések periódusideje egy olyan matematikai inga lengésidejével egyenlő, amelynek hossza a simulókör sugara. A képletgyűjteményből kiolvasható, hogy az ellipszis ezen pontjához tartozó simulókör sugara

R = \frac{a^{2}}{b}

, azaz esetünkben

\frac{s^{2}}{\sqrt[]{s^{2} - d^{2} / 4}}

. A kis rezgések periódusideje tehát

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{R}{g}} = 2 π s \sqrt[]{\frac{1}{g \sqrt[]{s^{2} - d^{2} / 4}}} . \end{matrix}

Czirók András dolgozata alapján