Kezdőlap


Feladat:	2441. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1990/november, 416 - 417. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/december: 2441. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hat egyenlő előjelű és nagyságú töltés sejtés szerint csak úgy lehet egyensúlyban a hetedikkel, ha a töltésük ellenkező előjelű, és teljesen szimmetrikus az elrendezésük. Erre két lehetőséget mutatunk be.
a) A hat töltés a hetedikkel egy síkban, egy szabályos hatszög csúcsaiban helyezkedik el, az alaptöltéssel a középpontban (1. ábra).

1. ábra

b) A töltések a térben, egy oktaéder csúcsaiban helyezkednek el, az alaptöltéssel a középpontban (2. ábra).

2. ábra

A töltések arányának megállapítására egy kiszemelt próbatöltés egyensúlyát vizsgáljuk mindkét esetben. A szimmetria miatt ekkor már mindegyik töltés egyensúlya biztos, a középsőé pedig egyértelmű.
a) A középső töltés vonzása:

k \frac{Q q}{a^{2}}

, ahol

a

a hatszög körüli kör sugara. A többi öt töltés taszítóerejének függőleges komponensei rendre:

k \cdot \frac{q^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{1}{2}; k \cdot \frac{q^{2}}{{(\sqrt[]{3} a)}^{2}} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2}; k \cdot \frac{q^{2}}{{(2 a)}^{2}}

Az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} k \frac{Q q}{a^{2}} = \frac{k q^{2}}{a^{2}} (2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{6} + \frac{1}{4}), & (1) \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} Q = q (1, 25 + \frac{\sqrt[]{3}}{3}) . & (1a) \end{matrix}

Számszerűen:

q = 0, 55 Q

.
A b) esetben hasonlóképpen eljárva kapjuk az egyensúly feltételét (

a

a középső töltés és a többi töltés távolsága)

\begin{matrix} k \frac{Q q}{a^{2}} = \frac{k q^{2}}{a^{2}} (4 \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{2} \cdot \frac{1}{{(\sqrt[]{2})}^{2}} + \frac{1}{4}), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} Q = q (\sqrt[]{2} + \frac{1}{4}) . \end{matrix}

Számszerűen:

q = 0, 60 Q

Megjegyzések. 1. Mint ahogy láthattuk, a töltések távolságától nem függ az egyensúly léte.
2. Egyik esetben sem stabil az egyensúly.
3. A sejtés pontos bizonyítása, és annak a bizonyítása, hogy a két lehetőségen kívül van-e több vagy nincs, elég nehéznek látszik.