Kezdőlap


Feladat:	2439. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Glavinas Hristos , Stőhr Lóránt , Szűts Dávid
Füzet:	1990/november, 415 - 416. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszer helyzeti energiája, Tömegpont egyensúlya, Nyomóerő, kötélerő, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/december: 2439. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rendszer szimmetrikus az $A$ -n átmenő függőleges egyenesre. Ezért az $A$ -t tartó kötelek egyforma, $F_{1}$ nagyságú erőt fejtenek ki. A kötelek súlytalanok, ezért a $B$ pontokat is $F_{1}$ nagyságú erővel húzzák. A fölső kötelek $F_{2}$ nagyságú erőt fejtenek ki a $10 kg$ -os ( $B$ ) testekre.

A

test egyensúlyi feltétele:

\begin{matrix} m_{1} g = 2 F_{1} sin α . \end{matrix}

(1)

B

test egyensúlyi feltétele:

\begin{matrix} m_{2} g + F_{1} sin α = F_{2} sin β, & (2) \\ F_{1} cos α = F_{2} cos β . & (3) \end{matrix}

A kötelek nyújthatatlanságából származó kényszerfeltétel:

\begin{matrix} 2, 5 cos α + 2, 5 cos β = 4. \end{matrix}

(4)

Ebből a négy egyenletből

F_{1}

F_{2}

α

β

meghatározható: (2) és (3) miatt

\begin{matrix} F_{1} \frac{cos α \cdot sin β}{cos β} = m_{2} g + F_{1} sin α, \end{matrix}

(1)-ből:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m_{1} g \frac{cos α sin β}{sin α cos β} = m_{2} g + \frac{1}{2} m_{1} g . \end{matrix}

Mindkét oldalt négyzetre emelve és (4)-ből

cos^{2} α = {(1, 6 - cos β)}^{2}

helyettesítéssel:

\begin{matrix} \frac{{(1, 6 - cos β)}^{2} (1 - cos^{2} β)}{cos^{2} β [1 - {(1, 5 - cos β)}^{2}]} = {(\frac{m_{2} + \frac{1}{2} m_{1}}{\frac{1}{2} m_{1}})}^{2} = 25. \end{matrix}

y = cos β

-ra ez negyedfokú egyenlet:

\begin{matrix} 24 y^{4} - 76, 8 y^{3} + 37, 44 y^{2} - 3, 2 y + 2, 56 = 0. \end{matrix}

Valamilyen közelítő eljárással egyetlen értelmes eredményt (

0 < y < 1

) kapunk:

\begin{matrix} y \approx 0, 6292. \end{matrix}

A keresett szakasz hossza:

\begin{matrix} x = 2, 5 sin α + 2,5 sin β = 2,5 (\sqrt[]{1 - {(1,6 - cos β)}^{2}} + \sqrt[]{1 - cos^{2} β}) = 2, 542 m . \end{matrix}

Szűts Dávid (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)

dolgozata alapján

Megjegyzés. A feladat a minimális energiájú helyzet keresésével is megoldható.