Kezdőlap


Feladat:	2431. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Daruka István , Németh István
Füzet:	1990/október, 329 - 330. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rugalmas erő, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Tapadó súrlódás, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/november: 2431. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A szalagra helyezett testre vízszintes irányban két erő hat, a rugóerő és a mozgó szalag mentén a súrlódási erő. Ez utóbbi lehet csúszási és tapadási, attól függően, hogy a test sebessége megegyezik a szalagéval, vagy nem.
Tegyük fel, hogy van a mozgásnak olyan szakasza, amelyben a test sebessége egyenlő a szalagéval. Ekkor tehát a test egyenes vonalú egyenletes mozgást végez, a rá ható erőket az 1. ábra mutatja.

1. ábra

Mivel a test haladása közben a rugó egyre jobban megnyúlik, a testre ható rugóerő nő. Ennek ellensúlyozására a tapadási súrlódási erő is növekszik. Azonban ismert, hogy

S

nem haladhatja meg a

μ_{tap} m g

értéket. Az egyenletes mozgás tehát csak addig tart, amíg a rugóerő el nem éri a

μ_{tap} m g

értéket. Ekkor tehát a megnyúlás:

x = μ_{tap} \cdot m g / D

, így

x = 1

m. (A kitérés nullpontja a feszítetlen rugó vége.)
Ettől a pillanattól kezdve a test megcsúszik, és rá a szalag által állandó,

μ_{csúsz} m g = 5

N erő fog hatni. Ekkor tehát a test mozgásegyenlete:

\begin{matrix} m \ddot{x} = μ_{csúsz} m g - D x . \end{matrix}

A mozgásegyenlet megoldása ismert: egy olyan harmonikus rezgőmozgás, amelynek egyensúlyi helyzete

y_{0} = μ_{csúsz} m g / D

-vel el van tolva nullához képest. Ekkor tehát a megoldás:

\begin{matrix} y (t) = A \cdot sin (ω t + φ), & (1) \\ v (t) = A \cdot ω \cdot cos (ω t + φ), & (2) \end{matrix}

ahol

y

-t az egyensúlyi helyzethez képest számítjuk,

ω = \sqrt[]{D / m} = \sqrt[]{10} s^{- 1}

.
Legyen

t = 0

, amikor a test megcsúszik.

A

és

φ

meghatározásához azt használjuk fel, hogy

y (0)

és

v (0)

ismert. A (2) egyenletet az (1) egyenlettel elosztva kapjuk, hogy

\begin{matrix} v (t) / y (t) = ω \cdot ctg (ω t + φ) . \end{matrix}

t = 0

pillanatban

v (0) = 1

m/s,

y (0) = 0, 5

m. Ezt behelyettesítve:

\begin{matrix} tg φ = 0, 5 \cdot ω . \end{matrix}

Az adatokat behelyettesítve és

φ

értékét (1)-be visszahelyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} φ = 1, 01 (rad), \\ A = 0, 59 m . \end{matrix}

Ettől a ponttól tehát a harmonikus rezgőmozgást láthatjuk, amely egészen addig tart, amíg a test sebessége ismét

1

m/s lesz. Ekkor újra tapadni fog a szalagon, és egyenletesen mozog vele egészen az előbb meghatározott

x = 1

m-ig. Mivel a rezgés szimmetrikus az

x = 0, 5

pontra, a tapadás az

x = 0

pontban következik be.
Meg kell még határozni az időviszonyokat. A harmonikus rezgés idejét a következőképp számíthatjuk ki. A kitérés maximális, ha

\begin{matrix} sin (ω t + φ) = 1. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} t = (π / 2 - φ) / ω = 0, 177 s . \end{matrix}

Ennyi idő eltelte után egy teljes félperiódus lezajlik, amelynek ideje

π / ω = 0, 99

s, majd ismét

0, 177

s múlva kezdődik az egyenletes mozgás, amelynek ideje 1 s. Ennek alapján a rezgőmozgás karakterisztikája a 2. ábrán látható.

2. ábra

A teljes rezgés periódusideje:

\begin{matrix} T = 1 s + 2 \cdot 0, 177 s + 0, 99 s \approx 2, 35 s . \end{matrix}

Külön kell tárgyalni azt az esetet, amikor nem lép fel tapadás. Ez akkor lehetséges, ha a szalag sebessége minden pillanatban nagyobb a testénél. Ekkor a testre állandóan

F = μ_{csúsz} \cdot m g - D x

erő hat. Így a mozgása tisztán harmonikus, amelynek periódusideje:

\begin{matrix} T = 2 π / ω = 1, 99 s . \end{matrix}

Ennek a mozgásnak a feltétele, hogy a rezgés amplitúdója ill. körfrekvenciája között fennálljon az

A \cdot ω < c

összefüggés. Ekkor

\begin{matrix} A < c \cdot \sqrt[]{m / D} = 0, 32 m, \end{matrix}

tehát indításkor ennél jobban nem szabad kinyújtani a rugót.

Németh István (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)