Kezdőlap


Feladat:	2423. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csuka Miklós
Füzet:	1990/május, 234. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csúszó súrlódás, Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/október: 2423. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk a korongokat $n$ darab $Δ r$ szélességű gyűrűre. Az $i$ -edik gyűrű területe, ha $Δ r$ elég kicsi, jó közelítésben

\begin{matrix} A_{i} \approx 2 Δ r i π Δ r . \end{matrix}

i

edik gyűrű által átvitt

M_{i}

forgatónyomaték akkor maximális, ha a súrlódási erő minden pontban érintő irányú. Így mivel a nyomóerő egyenletesen oszlik meg, és

Δ r

kicsi:

\begin{matrix} M_{i} \approx \frac{F_{n y}}{R^{2} π,} A_{i} μ_{0} Δ r \cdot i = \frac{2 F_{n y} {(Δ r)}^{3} μ_{0}}{R^{2}} i^{2} . \end{matrix}

Az átvihető maximális forgatónyomaték:

\begin{matrix} M = \sum_{i = 1}^{n} M_{i} = \frac{2 F_{n y} {(Δ r)}^{3} μ_{0}}{R^{2}} \sum_{i = 1}^{n} i^{2} . \end{matrix}

Ismert, hogy

\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}

, így

\begin{matrix} M = \frac{2 F_{n y} {(Δ r)}^{3} μ_{0}}{R^{2}} \cdot \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} . \end{matrix}

n

elég nagy, akkor

n + 1 \approx n

és

2 n + 1 \approx 2 n

, így

\begin{matrix} M \approx \frac{2 F_{n y} μ_{0}}{R^{2}} \cdot \frac{2 \cdot n^{3}}{6} {(Δ r)}^{3} . \end{matrix}

Mivel

n \cdot Δ r = R

\begin{matrix} M \approx \frac{2}{3} F_{n y} R μ_{0} . \end{matrix}

Ebből:

\begin{matrix} F_{n y} = \frac{3}{2} \frac{M}{μ_{0} R .} \end{matrix}

Csuka Miklós (Győr, PÁGISZ, IV. o. t.) dolgozata alapján