Kezdőlap


Feladat:	2401. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Monori András
Füzet:	1990/március, 136 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/május: 2401. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a rugó $N$ menetes, a rugó tömege $M$ , a rugóállandó $D_{0}$ . A meneteket alulról felfelé számozzuk meg 1-től $N$ -ig!
Először azt számoljuk ki, mennyi lesz 1 menet rugóállandója. Nyújtsuk meg (vízszintes helyzetben) $F$ erővel a rugót! Ekkor minden menetre $F$ erő hat. Ha az $i$ -edik menet megnyúlása $Δ x_{i}$ , akkor a rugó teljes megnyúlása $\sum_{i = 1}^{N} Δ x_{i}$ . Tudjuk, hogy

\begin{matrix} Δ x_{i} = \frac{F}{D_{i}}, \end{matrix}

(1)

ahol

D_{i}

i

-edik rugómenet rugóállandója.
Másrészt tudjuk, hogy

\begin{matrix} F = D_{0} \cdot \sum_{i = 1}^{N} Δ x_{i} . \end{matrix}

(2)

(1)-ből és (2)-ből

\begin{matrix} \frac{1}{D_{0}} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{1}{D_{i}} . \end{matrix}

Mivel az egyes menetek rugóállandói megegyeznek (

D

), így

\begin{matrix} D = N D_{0} . \end{matrix}

(3)

Egyensúlyi állapotban az

i

-edik menetre közelítőleg fennáll, hogy

\begin{matrix} D \cdot Δ x_{i} = \frac{i}{N} M g, \end{matrix}

mivel

\frac{i}{N} M g

súly terheli a menetet.
(3) alapján

\begin{matrix} Δ x_{i} = i \frac{M g}{N^{2} D_{0}} . \end{matrix}

(4)

i

-edik menet

Δ s_{i}

elmozdulását megkapjuk, ha a felette levő menetek

Δ x_{k}

elmozdulásait összegezzük:

\begin{matrix} Δ s_{i} = \sum_{k = i + 1}^{N} Δ x_{k} . \end{matrix}

(5)

(4) és (5) alapján

\begin{matrix} Δ s_{i} = \sum_{k = i + 1}^{N} (\frac{M g}{N^{2} D_{0}} i) = \frac{M g}{N^{2} D_{0}} \cdot \sum_{k = i + 1}^{N} i . \end{matrix}

Így a keresett elmozdulás:

\begin{matrix} Δ s_{i} = \frac{M g}{2 D_{0}} \cdot \frac{(N + i + 1) (N - i)}{N^{2}} . \end{matrix}

(6)

Monori András (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzések. 1.

i = 1

helyettesítéssel a (6) formulából adódik, hogy a sokmenetes rugó a saját súlya alatt

\frac{M g}{2 D_{0}}

hosszal nyúlik meg.
2. A feladat lényegében azonos a 2343. feladattal (megoldása az 1989/5. szám 231. oldalán), ami a homogén rugalmas szál megnyúlását kérdezi. A

D_{0}

rugóállandó az

\frac{E A}{l}

mennyiségnek feleltethető meg, ahol

E

a szál rugalmassági modulusa,

A

a keresztmetszete,

l

a hossza.