Kezdőlap


Feladat:	2400. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Daruka István , Hegedűs Pál , Káli Szabolcs
Füzet:	1990/március, 135 - 136. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kepler III. törvénye, Impulzusmegmaradás törvénye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/május: 2400. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a bolygó tömegét $M$ , a műholdak tömegét $m$ , a körpálya sugarát $R$ ! A körpályához tartozó sebesség $v_{k} = \sqrt[]{f \frac{M}{R}}$ . Legyen a szétválás pontja $A$ (l. az ábrát)!

A szétválás során a rendszerre külső erő nem hat, az összes lendület nem változik:

\begin{matrix} 2 m v_{k} = m \cdot \frac{4}{3} v_{k} + m \cdot v_{2}, \end{matrix}

(1)

amiből a másik műhold sebessége szétválás után

\begin{matrix} v_{2} = \frac{2}{3} v_{k} . \end{matrix}

(2)

A szökési sebességet,

\sqrt[]{2} \cdot v_{k}

-t a nagyobb sebességű műhold sem éri el, ezért mindkettő ellipszis pályára áll a bolygó körül. Könnyű belátni, hogy az

A

pont a gyorsabb (lassabb) műhold pályáján a nagytengelynek a bolygóhoz közelebbi (távolabbi) végpontja.
A sebesség és a vonzócentrumtól való távolság között fennáll a

\begin{matrix} v^{2} = f M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a}) \end{matrix}

(3)

összefüggés (l. a függvénytáblázatot), ahol

a

a félnagytengely. Tudjuk, hogy az

r = R

pontban

v_{1} = \frac{4}{3} \sqrt[]{f \frac{M}{R}}

, ill.

v_{2} = \frac{2}{3} \sqrt[]{f \frac{M}{R}}

. Ebből a (3) összefüggés felhasználásával kiszámíthatjuk a pályák félnagytengelyeinek hosszát. Ez a gyorsabb műholdra

\frac{9}{2} R

, a lassabbra

\frac{9}{14} R

. A nagytengelyek aránya tehát 7, így Kepler III. törvénye alapján a keringési idők aránya

\sqrt[]{7^{3}} = \sqrt[]{343} \approx 18, 52

Hegedűs Pál (Sopron, Berzsenyi D. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Az idézett összefüggés azzal ekvivalens, hogy ellipszis pályán a teljes energia

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} - f m \frac{M}{r} = - f \frac{m M}{2 a} . \end{matrix}