Kezdőlap


Feladat:	2392. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1990/március, 129 - 130. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgás egymásra merőleges elektromos és mágneses mezőben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/április: 2392. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük fel az $x$ , $y$ , $z$ jobbsodrású koordináta-rendszert úgy, hogy $E$ $y$ -irányú, $B$ $z$ -irányú legyen (1. ábra). Az elektronra két erő hat: a $q E$ elektromos erő és a $q v \times B$ mágneses erő. E két erőnek kell kiegyenlítenie egymást.

1. ábra

Tudjuk, hogy az elektromos erő mindig

E

egyenesébe esik, így a mágneses erő szintén párhuzamos kell, hogy legyen

E

-vel (2. ábra). Mivel a mágneses erő merőleges az elektron sebességére, a sebességvektoroknak az

E

-re merőleges

x z

-síkban kell lennie. Így

v_{y} = 0

2. ábra

Az egyenesvonalú egyenletes mozgás feltétele:

\begin{matrix} q E + q v \times B = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} v \times B = - E . \end{matrix}

Mivel

v

B

és

v \times B

jobbsodrású rendszert alkot,

v_{x} > 0

esetén a mágneses erő iránya ellentétes lesz, mint az elektromos erőé. A két erő nagysága pedig akkor lesz egyenlő, ha

E = v B sin α

, ahol

α

v

és

B

vektorok szöge (3. ábra). Jól látható, hogy

v sin α = v_{x}

, tehát

E = v_{x} \cdot B

3. ábra

Így

v_{x} = E / B

v_{y} = 0

és

v_{z}

határozatlan: értéke (a vektoriális szorzás miatt) nem befolyásolja sem a mágneses erő nagyságát, sem irányát. Tehát

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{E^{2}}{B^{2}} + v_{z}^{2}} . \end{matrix}

Számítsuk ki

v_{x}

-et:

\begin{matrix} v_{x} = \frac{E}{B} = \frac{6 \cdot 10^{5} N/C}{0, 2 T} = \frac{6 \cdot 10^{5} V/m}{0, 2 {Vs/m}^{2}} = 3 \cdot 10^{6} m/s . \end{matrix}

(Látható, hogy

v

nagysága megadható a

v = E / (B sin α)

képlettel is.)
A szükséges gyorsítófeszültség

\begin{matrix} | q | \cdot U = \frac{1}{2} m v^{2} \end{matrix}

alapján

\begin{matrix} U = \frac{m}{2 | q |} v^{2}, \end{matrix}

hiszen a gyorsító tér munkája egyenlő az elektron által szerzett mozgási energiával. Ha speciálisan

v_{z} = 0

, azaz

v = v_{x}

, akkor

\begin{matrix} U = \frac{m}{2 | q |} \cdot v^{2} = 25, 6 V . \end{matrix}

Minden más esetben nagyobb gyorsítófeszültség szükséges.

Megjegyzés. Ez a megoldás csak akkor helyes, ha

v_{z}

nem túl nagy. Ha

v

a fénysebesség közelébe kerülne, akkor már relativisztikus hatásokat is figyelembe kellene venni. Ha azonban

v

abba a nagyságrendbe esik, ahová

v_{x}

, ezek a hatások még jelentéktelenek.