Kezdőlap


Feladat:	2391. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bak János , Gidófalvy Elemér
Füzet:	1990/február, 87 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Egyéb kényszermozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/április: 2391. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Sajnálatos módon a feladat szövegében egy félreértést eredményező megfogalmazás szerepel. Általában az ellipszis fél-nagytengelyét és fél-kistengelyét jelölik $a$ -val és $b$ -vel, a szövegben viszont e paraméterek a tengelyek teljes hosszát jelentik. Látni fogjuk, hogy az utóbbi esetben (A változat) a feladat lényegesen egyszerűbbé válik.

Megoldás.
A) változat: Az ellipszis pontjainak a fókuszpontoktól mért távolságaik összege

a = 10

cm, másrészt a gumiszálak együttes hossza

L_{1} + L_{2} = 12 cm > a

. A fókuszpontok távolsága

c = 2 \sqrt[]{{(\frac{a}{2})}^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2}} = 8 cm

. Az

O_{1}

fókuszpontból rajzolt

L_{1} = 8 cm

sugarú kör az

A

és

A'

pontokban, az

O_{2}

középpontú

L_{2} = 4 cm

sugarú kör a

B

és

B'

pontokban messe az ellipszist (1. ábra)!

1. ábra

Az előbbiekből következik, hogy az ellipszis

A B

és

A' B'

ívén mindkét gumiszál feszítetlen állapotban van, az

A A'

B B'

íveken pedig az egyik gumiszál lesz megfeszítve. Az utóbbi szakaszokon a testre ható erőnek van az ellipszis érintőjének irányába mutató összetevője, tehát nem lehet egyensúlyban. Kivételt jelent a nagytengely két végpontja, ezekben a test instabil egyensúlyi helyzetben van. Az

A B

és

A' B'

íveken mindkét gumiszál laza, a testre nem hat erő, tehát a test az ívek bármely pontjában egyensúlyban van.
A

k_{1}

rugóállandójú gumiszál akkor lesz legjobban megnyújtva, ha a test a nagytengely

P_{2}

végpontjában van. Ebből (az instabil egyensúlyi helyzetből) kimozdítva a test akkor fog megállni, amikor az 1-es gumiszál rugalmas energiája teljesen átalakul a 2-es gumiszál rugalmas energiájává (a súrlódást elhanyagoltuk):

\begin{matrix} \frac{1}{2} k_{1} {(\frac{a + c}{2} - L_{1})}^{2} = \frac{1}{2} k_{2} {(l - L_{2})}^{2}, \end{matrix}

ahol

l

-lel jelöltük a testnek az

O_{2}

fókuszponttól mért távolságát. A megadott értékekkel

l = 4, 5 cm

adódik. Itt áll meg a test először, majd visszafelé indul.
A test sebessége ott maximális, ahol rugalmas energiája minimális, tehát ahol stabil egyensúlyi helyzetben van. Ezek a pontok az

A B

vagy

A' B'

ív pontjai. Itt mindkét gumiszál laza, az energiamegmaradás törvénye szerint a maximális sebességet az

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k_{1} {(\frac{a + c}{2} - L_{1})}^{2} \end{matrix}

egyenlet határozza meg. Innen

v = 0, 447 m/s

, amely sebességet a test az

A (A')

pontban éri el, és ezzel halad át az

A B (A' B')

íven.

B) változat: Jelentse

a

, ill.

b

az ellipszis fél-nagytengelyét, ill. fél-kistengelyét! Az ellipszis pontjainak a fókuszpontoktól mért távolságaik összege

2 a = 20 cm

, és

L_{1} + L_{2} < 2 a

. Ezért az ellipszisnek nem lesz olyan pontja, amelyben mindkét gumiszál laza, de lesz olyan, amelyben mindkettő megfeszített. A nagytengely két végpontjában a test most is instabil egyensúlyi helyzetben van. Keressük meg a stabil egyensúlyi helyzetet! A testre a 2. ábrán látható erők hatnak, N az ellipsziskeret által kifejtett erő, ami merőleges az ellipszis érintőjére. Egyensúly akkor van, ha az

F_{1}

és

F_{2}

erők érintő irányú összetevői egyenlő nagyságúak és ellentétes irányúak.

2. ábra

Egy geometriai tétel szerint az ellipszis érintőjére merőleges egyenes felezi a két vezérsugár által bezárt szöget (l. pl. Hajós György: Bevezetés a geometriába, 408. o., Tankönyvkiadó, Budapest, 1960). Így a 2. ábrán

α

-val jelölt szögek egyenlőek, és a rugalmas erők érintő irányú összetevőinek nagysága

F_{1} sin α

és

F_{2} sin α

. Ezek alapján az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} F_{1} = F_{2} . \end{matrix}

Legyen megnyújtott állapotban az 1-es gumiszál

l_{1}

, a 2-es gumiszál

l_{2}

hosszúságú.
A feltételt az alábbi módon írhatjuk át:

\begin{matrix} k_{1} (l_{1} - L_{1}) = k_{2} (l_{2} - L_{2}), \end{matrix}

és

\begin{matrix} l_{1} + l_{2} = 2 a \end{matrix}

az ellipszis definíciója miatt. E két egyenletből

\begin{matrix} l_{1} = \frac{k_{1} L_{1} + k_{2} (2 a - L_{2})}{k_{1} + k_{2}}, l_{2} = 2 a - l_{1} . \end{matrix}

A megadott értékeket behelyettesítve azt kapjuk, hogy a test az

O_{1}

fókuszponttól

l_{1} = 14, 4

cm-re, az

O_{2}

fókuszponttól

l_{2} = 5, 6

cm-re lesz stabil egyensúlyi helyzetben.
A második és harmadik kérdésre most is az energiamegmaradás törvényének felhasználásával válaszolhatunk. A test az

O_{1}

fókuszponttól olyan

l_{1}^{*}

, az

O_{2}

fókuszponttól olyan

l_{2}^{*}

távolságban fog először megállni, amelyekre

\begin{matrix} \frac{1}{2} k_{1} {(a + c - L_{1})}^{2} = \frac{1}{2} k_{1} {(l_{1}^{*} - L_{1})}^{2} + \frac{1}{2} k_{2} {(l_{2}^{*} - L_{2})}^{2}; és l_{1}^{*} + l_{2}^{*} = 2 a . \end{matrix}

Ennek az egyenletrendszernek a fizikailag értelmes megoldása

l_{1}^{*} = 11, 3

cm,

l_{2}^{*} = 8, 7

cm. (Most

c = \sqrt[]{a^{2} - b^{2}} = 8

cm.) A test sebessége most is a stabil egyensúlyi helyzetben lesz maximális. Az energiamegmaradás alapján

\begin{matrix} \frac{1}{2} k_{1} {(a + c - L_{1})}^{2} = \frac{1}{2} m v_{max}^{2} + \frac{1}{2} k_{1} {(l_{1} - L_{1})}^{2} + \frac{1}{2} k_{2} {(l_{2} - L_{2})}^{2}, \end{matrix}

amiből

v_{max} = 3, 12

m/s.

Megjegyzések. 1. A B) változatban az egyensúlyi helyzetet a rugalmas energia minimalizálásával is meghatározhatjuk. Legyen a test az egyes fókuszpontoktól

x

és

y

távolságra.
A rugalmas energia:

\begin{matrix} \frac{1}{2} k_{1} {(x - L_{1})}^{2} + \frac{1}{2} k_{2} {(y - L_{2})}^{2}, \end{matrix}

és

x + y = 2 a, x ≧ L_{1}, y ≧ L_{2},

y

-t

x

-szel kifejezve az energia

\begin{matrix} \frac{1}{2} k_{1} {(x - L_{1})}^{2} + \frac{1}{2} k_{2} {(2 a - x - L_{2})}^{2} \end{matrix}

alakú. Ennek minimumhelyét teljes négyzetté alakítással, vagy differenciálszámítással kaphatjuk meg. Természetesen az

x = l_{1}

y = l_{2}

eredmények adódnak.
2. Több megoldó a gumiszálat rugónak tekintette. A gumiszálat azonban a rugóval ellentétben nem lehet összenyomni.