Kezdőlap


Feladat:	2371. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/november, 423 - 424. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erőrendszer eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/február: 2371. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A rúdra a csukló által kifejtett erő legyen $F = (F_{x}, F_{y})$ , a kötél által kifejtett erő $K = (K_{x}, K_{y})$ . A feladatban szereplő összes erőnek az $A B C$ síkra merőleges komponense nyilván zérus, és $K_{y} = - K_{x} \cdot tg α$ (1. ábra).

1. ábra

Egyensúlyi helyzetben a rúdra ható erők eredője

0

, és az erők

A

pontra vonatkozó forgatónyomatékainak eredője is

0

\begin{matrix} K_{x} + F_{x} = 0, \\ - K_{x} \cdot tg α + F_{y} - G - G_{0} = 0, \\ - K_{x} \cdot tg α \cdot l - G \cdot d - G_{0} \cdot \frac{l}{2} = 0. \end{matrix}

Azt kell meghatároznunk, milyen

d

mellett lesz

F = \sqrt[]{F_{x}^{2} + F_{y}^{2}}

minimális. Az egyenletekből

\begin{matrix} F_{x} = \frac{1}{tg α} (\frac{G_{0}}{2} + G \cdot \frac{d}{l}), \\ F_{y} = G (1 - \frac{d}{l}) + \frac{G_{0}}{2} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} F_{x}^{2} + F_{y}^{2} = \frac{G^{2}}{sin^{2} α} \frac{d^{2}}{l^{2}} + \frac{G G_{0}}{{tg}^{2} α} \frac{d}{l} - G G_{0} \frac{d}{l} - 2 G^{2} \frac{d}{l} + \frac{G_{0}^{2}}{4 sin^{2} α} + G^{2} + G G_{0} . \end{matrix}

Azonos átalakítások után:

\begin{matrix} F_{x}^{2} + F_{y}^{2} = {(\frac{G}{sin α} \frac{d}{l} + \frac{G_{0} sin α}{2 {tg}^{2} α} - \frac{G_{0} sin α}{2} - G sin α)}^{2} + f, \end{matrix}

ahol

f

független

d

-től. A kifejezés akkor minimális, ha a zárójelben

0

áll. Ekkor

\begin{matrix} d = l \cdot sin^{2} α + \frac{G_{0}}{G} l (sin^{2} α - \frac{l}{2}) . \end{matrix}

A megadott adatokkal

d = \frac{7}{8} l = 0, 875 m

II. megoldás. Ebben a megoldásban igyekszünk minél kevesebb számolással célbaérni. Tekintsük a rudat és a súlyt egy testnek. Erre három erő hat, a

G^{*}

súlyerő, a

K

kötélerő, a csuklóban ébredő

F

erő. Egyensúlyban e három erő vektori összege

0

, a három vektorból háromszöget lehet szerkeszteni.

G^{*}

adott, (

G + G_{0}

K

-nak pedig iránya adott. Az

F

erő a

G^{*}

vektor végpontját köti össze a

K

vektor egyenesének, a kötélnek egy pontjával. Ebből következik, hogy

F

nagysága akkor a legkisebb, ha merőleges

K

-ra. (2. ábra.)

2. ábra

A testre ható forgatónyomaték egyensúlyban

0

. Vonatkoztassuk a forgatónyomatékot

F

és

K

egyenesének metszéspontjára! (Ez a pont létezik, mert

F

és

K

nem párhuzamosak.)

3. ábra

Az eredő forgatónyomaték csak akkor lehet

0

, ha

G^{*}

is átmegy ezen a ponton. Ezért a 3. ábra alapján

G^{*}

támadáspontjának a faltól mért távolságára felírhatjuk:

\begin{matrix} l \cdot sin^{2} α = \frac{G_{0} \cdot \frac{l}{2} + G \cdot d}{G_{0} + G} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} d = l \cdot sin^{2} α + \frac{G_{0}}{G} l (sin^{2} α - \frac{1}{2}) . \end{matrix}