Kezdőlap


Feladat:	2360. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1989/december, 471 - 472. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabad úthossz, Termikus átlagsebesség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1989/január: 2360. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az idézett cikkben szerepel egy képlet egy részecske időegység alatti ütközéseinek átlagos számára:

\begin{matrix} \bar{z} = \sqrt[]{2} d^{2} π \bar{v} ϱ_{m}, \end{matrix}

(1)

ahol

d

a részecske átmérője,

\bar{v}

a sebességek átlaga,

ϱ_{m}

pedig a térfogategységben lévő részecskék száma.
A

p V = N k T

állapotegyenletből könnyen megkaphatjuk

ϱ_{m}

-et:

\begin{matrix} ϱ_{m} = \frac{N}{V} = \frac{p}{k T} = 3, 32 \cdot 10^{19} \frac{1}{m^{3}} . \end{matrix}

(2)

Tudjuk, hogy egy gáz részecskéinek haladó mozgáshoz tartozó energia-átlaga:

\begin{matrix} \bar{E} = \frac{1}{2} μ \bar{v^{2}} = \frac{3}{2} k T, \end{matrix}

ahol

μ

egy részecske tömege.

(Azért

\frac{3}{2} k T

, mert az

O_{2}

5 szabadsági foka közül 3 tartozik haladó mozgáshoz.) Innen

\begin{matrix} \sqrt[]{\bar{v^{2}}} = \sqrt[]{\frac{3 k T}{μ}} = \sqrt[]{\frac{3 R T}{N_{A} μ}} = \sqrt[]{\frac{3 R T}{M}}, \end{matrix}

ahol

N_{A}

az Avogadro-szám,

M = μ \cdot N_{A}

, vagyis 1 mol részecske tömege, esetünkben

M = 32 \cdot 10^{- 3} kg/mol

R = k \cdot N_{A} = 8, 314 J/(K \cdot

mol) pedig az egyetemes gázállandó.
A

\bar{v} \approx \sqrt[]{\bar{v^{2}}}

közelítést alkalmazva

\begin{matrix} \bar{v} \approx \sqrt[]{\frac{3 R T}{M}} = 475, 4 \frac{m}{s} . \end{matrix}

(3)

Így (1)-be helyettesítve:

\begin{matrix} \bar{z} = \sqrt[]{2} d^{2} π \sqrt[]{\frac{3 R T}{M}} \frac{p}{k T} = 5903, 7 \frac{1}{s} . \end{matrix}

(4)

Ezzel megkaptuk, hogy egy részecske átlagosan hány ütközésben vesz részt másodpercenként.
Ha az összes ütközések számát keressük,

\bar{z}

-ot meg kell szorozni

N

-nel, a tartályban lévő részecskék számával, és el kell osztani kettővel, mert

N \cdot \bar{z}

-ban minden ütközést kétszer számoltunk (mindkét ütköző részecskénél). Az állapotegyenletből

\begin{matrix} N = \frac{p V}{k T} = 3, 32 \cdot 10^{16}, \end{matrix}

(5)

így az ütközések száma másodpercenként:

\begin{matrix} Z = \frac{N \cdot \bar{z}}{2} = 9, 8 \cdot 10^{19} \frac{1}{s} . \end{matrix}

Megjegyzések: 1. Az összes ütközés számításánál úgy tekintettük, hogy minden ütközésben két részecske vesz részt, mert elenyészően kicsiny azon ütközések száma, melyekben 3 vagy több részecske vesz részt.

2. Az átlagsebesség számításakor a

\bar{v} \approx \sqrt[]{\bar{v^{2}}}

közelítést alkalmaztuk. Ez szigorúan véve nem igaz.

\sqrt[]{\bar{v^{2}}} = \sqrt[]{\frac{3 R T}{M}}

, ahogy levezettük, de pontosabb számítások eredményeképpen megkaphatjuk, hogy

\bar{v} = \sqrt[]{\frac{8 k T}{π μ}}

. Így közelítőleg

\bar{v} = 0, 92 \sqrt[]{\bar{v^{2}}}

\bar{v}

pontosabb értéke:

\bar{v} = 438 \frac{m}{s}

, ekkor

\bar{z} = 5439 \frac{1}{s}

Z = 9, 03 \cdot 10^{19} \frac{1}{s}