Kezdőlap


Feladat:	2342. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fedorcsák Péter , Vass Gergely
Füzet:	1989/november, 416 - 417. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/november: 2342. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tekintsünk olyan rugókat, amelyek eredeti hossza akkora, hogy az $F = 0$ esetben mindegyikük külön-külön is feszültségmentes, valamint elegendően vékonyak és hosszúak, hogy az általuk kifejtett erőket párhuzamosnak tekinthessük; ezenkívül eltekintünk a rugók esetleges oldalirányú elmozdulásaitól.

Képzeletben távolítsuk el a (3) rugót! Ez az elrendezés az ábrán látható. Ha két egymás után kapcsolt rugóra

F

erő hat, az eredő direkciós erő:

\begin{matrix} D = \frac{F}{x} = \frac{F}{x_{1} + x_{2}} = \frac{F}{\frac{F}{D_{1}} + \frac{F}{D_{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{D_{1}} + \frac{1}{D_{2}}} . \end{matrix}

ahol

x_{i}

i

-edik rugó megnyúlása. Az 1. ábra felső, ill. alsó rugóinak direkciós ereje innen:

\begin{matrix} D_{felső} = \frac{24}{11} \frac{N}{m}, illetve D_{alsó} = \frac{120}{11} \frac{N}{m} . \end{matrix}

Legyen az egész rendszer megnyúlása

x

! Az egyes ágakban ébredő erők:

\begin{matrix} F_{felső} = D_{felső} x = \frac{24}{11} \frac{N}{m} \cdot x; illetve F_{alsó} = \frac{120}{11} \frac{N}{m} \cdot x . \end{matrix}

Tekintsük most csak az (1), illetve a (4) rugó megnyúlását! A sorba kapcsolt rugók mindegyikében azonos erő ébred, így az (1)-re

F_{felső}

, a (4)-re

F_{alsó}

erő hat.

\begin{matrix} x_{1} = \frac{F_{felső}}{D_{1}} = \frac{8}{11} x, x_{4} = \frac{F_{alsó}}{D_{4}} = \frac{8}{11} x . \end{matrix}

Mivel

x_{1} = x_{4}

, ezért ha a (3) rugó kezdetben feszültségmentes állapotban volt, akkor a rendszer megnyúlása esetén sem ébred erő benne. A fentieket figyelembe véve az eredő direkciós erő:

\begin{matrix} D = \frac{F_{eredő}}{x} = \frac{F_{felső} + F_{alsó}}{x} = \frac{\frac{24}{11} \frac{N}{m} \cdot x + \frac{120}{11} \frac{N}{m} \cdot x}{x} = \frac{144}{11} \frac{N}{m} \approx 13,1 \frac{N}{m} . \end{matrix}

Fedorcsák Péter (Miskolc, Földes Ferenc Gimn., II. o .t.)

II. megoldás. Tegyük fel, hogy a rugók az előző megoldásban leírt tulajdonságokkal rendelkeznek. A rendszer

F

erő hatására nyúljon meg

x

-szel, az

i

-edik rugó (

i = 1, ...,5

)

x_{i}

-vel.
Ekkor az erők egyensúlyából a rugótörvény segítségével, illetve geometriai megfontolások alapján a következő egyenleteket írhatjuk fel:

\begin{matrix} x = x_{1} + x_{2}; \\ x = x_{4} + x_{5}; \\ x_{3} = x_{4} - x_{1}; \\ D_{1} x_{1} = D_{2} x_{2} + D_{3} x_{3} \\ D_{5} x_{5} = D_{3} x_{3} + D_{4} x_{4} \\ F = D_{2} x_{2} + D_{5} x_{5} . \end{matrix}

Az egyenletrendszerből az ismeretlenek fokozatos kiküszöbölésével

D_{eredő} = \frac{F}{x}

meghatározható:

\begin{matrix} D_{eredő} = D_{1} D_{2} D_{3} D_{4} D_{5} \frac{(\frac{1}{D_{1}} + \frac{1}{D_{4}}) (\frac{1}{D_{2}} + \frac{1}{D_{5}}) + \frac{1}{D_{3}} (\frac{1}{D_{1}} + \frac{1}{D_{2}} + \frac{1}{D_{4}} + \frac{1}{D_{5}})}{(D_{1} + D_{2}) (D_{4} + D_{5}) + D_{3} (D_{1} + D_{2} + D_{4} + D_{5})}, \end{matrix}

azaz

D_{eredő} = \frac{144}{11} \frac{N}{m}

Vass Gergely (Sopron, Széchenyi I. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Belátható, hogy az eredő direkciós erő akkor is ennyi, ha az

F = 0

helyzetben a rugók külön-külön nem feszültségmentesek.