Kezdőlap


Feladat:	2324. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Buzás Edit
Füzet:	1989/március, 136 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nagy kitérítés, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/szeptember: 2324. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az ideális fonálinga nehezékének sebessége mozgása során mind az irányát, mind a nagyságát változtatja; ennek megfelelően a gyorsulása a centripetális, valamint az érintőirányú komponensből tevődik össze. E két gyorsulás mindig merőleges egymásra. A pálya legalsó pontjában az érintőirányú gyorsulás nulla (nincs érintőirányban ható erő), így a feladatban megadott $2 g$ gyorsulás a centripetális gyorsulás

\begin{matrix} 2 g = \frac{v_{{max}_{}^{}}^{2}}{R}, \end{matrix}

(1)

ahol

R

a fonál hossza. Az energiatétel felhasználásával kiszámolhatjuk a maximális kitérés magasságát (a pálya legalsó pontjában vesszük a helyzeti energiát zérusnak):

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{{max}_{}^{}}^{2} = m g h . \end{matrix}

(2)

Ebből (1) felhasználásával

h = R

, vagyis a fonálingát vízszintes helyzetből indítottuk. A nehezék sebessége a vízszintes helyzettől mért

φ

szögnél szintén az energiatételből határozható meg:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = m g R sin φ, \end{matrix}

\begin{matrix} v^{2} = 2 g R sin φ . \end{matrix}

(3)

A gyorsulásvektor abban a helyzetben lesz vízszintes, amikor a centripetális gyorsulás vektorával éppen a kitérés

φ

szögét zárja be (1. ábra).

1. ábra

Ekkor:

\begin{matrix} tg φ = \frac{a_{t}}{a_{c p}} . \end{matrix}

(4)

(3) felhasználásával

\begin{matrix} a_{c p} = \frac{v^{2}}{R} = 2 g sin φ, \end{matrix}

míg

\begin{matrix} a_{t} = g cos φ . \end{matrix}

Ezekkel

\begin{matrix} {tg}^{2} φ = \frac{1}{2} . \end{matrix}

φ

-re kapott megoldások közül csak a

0 ≦ φ ≦ 180^{\circ}

értékeknek van számunkra jelentése:

\begin{matrix} φ_{1} = 35, 3^{\circ}, φ_{2} = 144, 7^{\circ} . \end{matrix}

A gyorsulásvektor ezekben a helyzetekben lesz vízszintes irányú. Ilyenkor

\begin{matrix} a = \frac{a_{t}}{sin φ} = \frac{g}{tg φ} = \pm \sqrt[]{2} g . \end{matrix}

(A negatív előjel azt jelzi, hogy

φ_{2} = 144, 7^{\circ}

-nál a gyorsulás iránya éppen ellentétes a

φ_{2} = 35, 3^{\circ}

-nál levővel.)

II. megoldás. Válasszunk olyan koordinátarendszert, amelyben a pozitív

y

irány függőlegesen lefelé, a pozitív

x

irány pedig vízszintesen balra mutat, és írjuk fel a gyorsulásvektor ilyen irányú komponenseit egy tetszőleges

φ

-vel jellemzett helyzetben:

\begin{matrix} a_{x} = a_{c p} cos φ + a_{t} sin φ, \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} a_{y} = - a_{c p} sin φ + a_{t} cos φ . \end{matrix}

(6)

Ezekbe helyettesítve

a_{c p}

és

a_{t}

, kifejezéseit:

\begin{matrix} a_{x} = \frac{3}{2} g sin 2 φ, \end{matrix}

(7)

\begin{matrix} a_{y} = \frac{g}{2} + \frac{3}{2} g cos 2 φ . \end{matrix}

(8)

Ez pedig egy kör paraméteres egyenlete. Ha tehát a vízszintes helyzetből elindított fonálinga nehezékének a

φ

szögtől függő gyorsulásvektorát nagyság és irány szerint közös kezdőpontból felrajzoljuk és azt a kezdőpontot koordinátarendszerünk origójának tekintjük, a vektor végpontja a

(0, - \frac{g}{2})

középpontú

\frac{3}{2} g

sugarú körvonalon söpör végig (2. ábra).

φ = 0^{\circ}

-nál a gyorsulás nagysága

g

és iránya függőlegesen lefelé mutat, míg

φ = 90^{\circ}

-nál a gyorsulás nagysága

2 g

és iránya függőlegesen felfelé mutat.

2. ábra

A keresett vízszintes gyorsulás éppen az

A B C

derékszögű háromszög átfogójához tartozó magassága (2. ábra), így nagysága a magasságtétel alapján

g

és

2 g

mértani közepe,

\pm \sqrt[]{2} g

.
Az ehhez tartozó szöget a kör egyenletéből határozhatjuk meg:

a_{y} = 0

a_{x} = \pm \sqrt[]{2} g = \frac{3}{2} g sin 2 φ

. Az innen kapott megoldások:

φ_{1} = 35, 3^{\circ}

és

φ_{2} = 144, 7^{\circ}

. (A

0 ≦ φ ≦ 180^{\circ}

tartományban

4

szögérték adódik, de ezek közül csak azok érdekesek, amelyeknél

a_{y} = 0

Buzás Edit (Miskolc, Herman O. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzés: A II. megoldásnál ne felejtsük el, hogy a gyorsulásokra kapott (7) és (8) egyenletek csak a vízszintes helyzetből elengedett ideális fonálingára érvényesek.