Kezdőlap


Feladat:	2318. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hauer Tamás , Siklér Ferenc
Füzet:	1988/december, 476 - 477. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb váltóáramú áramkörök, Komplex impedancia, Vektordiagramok, Komplex számok alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/május: 2318. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. a) A felső $R L$ ág impedanciája, illetve a feszültség és az áram között bezárt $φ_{1}$ szög (1. ábra)

\begin{matrix} Z_{1} = \sqrt[]{R^{2} + X_{L}^{2}}; \end{matrix}

1. ábra

Így az átfolyó áram effektív értéke

\begin{matrix} I_{R L} = \frac{U}{Z_{1}} . \end{matrix}

A párhuzamosan kötött kondenzátor áramának nagysága, illetve fázisa (2. ábra):

\begin{matrix} I_{C} = \frac{U}{X_{C}}; \end{matrix}

2. ábra

A főág eredő áramvektora

φ

szöget zár be a feszültséggel (3. ábra). A vektorábra alapján

\begin{matrix} tg φ = \frac{I_{C} - I_{R L} sin φ_{1}}{I_{R L} cos φ_{1}} . \end{matrix}

Behelyettesítve

I_{C}

I_{R L}

és

cos φ_{1}

értékét

\begin{matrix} X_{C} = \frac{R^{2} + X_{L}^{2}}{X_{L} + R tg φ} . \end{matrix}

A feladat számadataival

(tg φ = \sqrt[]{19} / 9)

X_{C_{1}} = 12,7 Ω

, illetve az

X_{C_{2}} = 58,8 Ω

értékeket kapjuk, azaz a kondenzátor kapacitása

C_{1} = 54,1 μ F

vagy

C_{2} = 251 μ F

lehet.

b) Kezdetben a felvett teljesítmény

\begin{matrix} P_{1} = I_{R}^{2} \cdot R = U^{2} \frac{R}{R^{2} + X_{L}^{2}} . \end{matrix}

Soros

R L C

kör esetén a teljesítmény

\begin{matrix} P_{2} = U^{2} \frac{R}{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}} . \end{matrix}

P_{1} = P_{2}

összevetéséből

\pm X_{L} = X_{L} - X_{C}

, azaz

X_{C_{3}} = 0 Ω

, vagy

X_{C_{4}} = 2 X_{L} = 15 Ω

3. ábra

X_{C_{3}} = 0 Ω

megoldásnak végtelen nagy kapacitás felel meg, ezzel a továbbiakban nem foglalkozunk. A másik megoldásból

\begin{matrix} C_{4} = \frac{1}{ω X_{C_{4}}} = 212 μ F . \end{matrix}

Párhuzamosan kötött kondenzátorok esetén a kapacitás csak növekedhet, így csak a

C_{1} = 54,1 μ F

kondenzátor esetén érhetjük el a teljesítmények egyenlőségét, mégpedig egy

C^{'} = 158 μ F

kapacitású kondenzátor párhuzamos bekötésével.

Siklér Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. a) Komplex számításmód segítségével az áramkör impedanciája:

\begin{matrix} Z = \frac{1}{\frac{1}{R + j X_{L}} + \frac{1}{- j X C}} = \frac{R X_{C}^{2} - j (R^{2} X_{C} + X_{L}^{2} X_{C} - X_{L} X_{C}^{2})}{R^{2} + {(X_{L} - X_{C})}^{2}}; \end{matrix}

Innen az áramerősség fázisszöge

\begin{matrix} tg φ = \frac{X_{L} X_{C} - X_{L}^{2} - R^{2}}{R X_{C}}, ahonnan X_{C} = \frac{X_{L}^{2} + R^{2}}{X_{L} - R tg φ} . \end{matrix}

A számítás további menete azonos az I. megoldásban leírtakkal.

Hauer Tamás (Bp., ELTE Apáczai Csere J. Gimn. IV. o. t.)