Kezdőlap


Feladat:	2307. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ritli Tibor
Füzet:	1989/január, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb körfolyamatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/április: 2307. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A körfolyamat első szakaszában a $V$ térfogatú gázra az összenyomott rugó által kifejtett erő $D x$ , ahol $x = \frac{V - V_{0}}{A}$ , $D$ a rugóállandó, $A$ a dugattyú keresztmetszete és $V_{0}$ a gáz kezdeti térfogata.

A folyamat során a gáz nyomásának térfogatfüggése:

\begin{matrix} p (V) = p_{0} + \frac{D}{A^{2}} (V - V_{0}), \end{matrix}

(1)

ahol

p_{0}

a külső légnyomás. Látható, hogy a nyomás a térfogat lineáris függvénye. Az ábrán felrajzoltuk a

(p, V)

síkon a teljes körfolyamatot.

Vizsgáljuk a 0‐1 szakaszt!
A környezet által végzett munka a 0‐1 szakasz alatti területtel egyenlő:

\begin{matrix} W_{01} = - \frac{p_{1} + p_{0}}{2} V_{0}, \end{matrix}

(2)

ahol (1) felhasználásával az 1-es pontban a nyomás:

\begin{matrix} p_{1} = p_{0} + \frac{D}{A^{2}} V_{0} . \end{matrix}

(3)

A belsőenergia változás

Δ U_{01} = C_{V} (T_{1} - T_{0})

, ahol

T_{1}

a gáz hőmérséklete az 1-es pontban,

C_{V}

pedig a gáz hőkapacitása állandó térfogaton. Az állapotegyenlet alapján

T_{0}

és

T_{1}

kiszámítható:

\begin{matrix} T_{1} - T_{0} = \frac{p_{1} V_{1} - p_{0} V_{0}}{C_{p} - C_{V}} = \frac{p_{0} V_{0} + 2 D V_{0}^{2} / A^{2}}{C_{p} - C_{V}} . \end{matrix}

(4)

Az I. főtétel alapján ezen a szakaszon a hőfelvétel:

\begin{matrix} Q_{01} = Δ U_{01} - W_{01} . \end{matrix}

(5)

Behelyettesítve:

\begin{matrix} Q_{01} = \frac{ϰ}{ϰ - 1} p_{0} V_{0} + \frac{D V_{0}^{2}}{A^{2}} (\frac{2}{ϰ - 1} + \frac{1}{2}), ahol ϰ = C_{p} / C_{V} . \end{matrix}

Az 1‐2 folyamat során térfogatváltozás nincs, a munkavégzés zérus, és a gáz hőt ad le.
A körfolyamat utolsó szakaszán a munkavégzés:

\begin{matrix} W_{20} = - p_{0} (- V_{0}) = p_{0} V_{0}, \end{matrix}

(6)

és a gáz ismét hőt ad le.
A teljes ciklus során a gáz által végzett hasznos munka:

\begin{matrix} W = - W_{01} - W_{20} = \frac{1}{2} (p_{1} - p_{0}) V_{0} . \end{matrix}

(7)

Közben a rendszer

Q_{01}

nagyságú hőt vesz fel, így a hatásfok:

\begin{matrix} η = \frac{W}{Q_{01}} . \end{matrix}

(8)

A (3), (5) és (7) egyenletet felhasználva:

\begin{matrix} η = \frac{1}{1 + \frac{4}{ϰ - 1} + \frac{ϰ}{ϰ - 1} \frac{2 A^{2} p_{0}}{D V_{0}}} . \end{matrix}

(9)

Az egyatomos hélium gázra:

\begin{matrix} ϰ = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{5}{3}, \end{matrix}

így a hatásfok:

\begin{matrix} η = \frac{1}{7 + 5 \frac{p_{0} A^{2}}{D V_{0}}} . \end{matrix}

Látható, hogy

η < \frac{1}{7}

Ritli Tibor (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t.)