Kezdőlap


Feladat:	2302. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Boda Imre
Füzet:	1989/március, 131 - 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Kepler I. törvénye, Perdületmegmaradás törvénye, Helyzeti energia inhomogén gravitációs mezőben, Energiamegmaradás tétele, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/március: 2302. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az $M$ tömegű, $R$ sugarú Nap közvetlen közelében $c$ fénysebességgel elhaladó $m$ tömegű fényrészecske sebessége a Naptól igen nagy távolságban lévő $V_{1}$ pontban $v$ . Ekkor mechanikai energiája

\begin{matrix} E_{mech} = E_{mozg} = \frac{1}{2} m v^{2} > 0. \end{matrix}

A részecske pályája a Nap gravitációs terében a

V_{1}

és

V_{2}

ponton átmenő hiperbola, amelynek

F

fókuszpontjában a Nap áll és aszimptotái a Nap középpontjától

F G = d

távolságban futó

e_{1}

és

e_{2}

egyenesek. Mivel a "végtelen távoli''

V_{1}

, illetve

V_{2}

pontban a fényrészecske

v

, ill.

v'

sebessége párhuzamos az aszimptotákkal, a keresett eltérülés szöge

δ

, éppen az aszimptoták hajlásszöge. A hiperbola geometriájából (pl. Négyjegyű függvénytáblázat 78. o.) ismert, hogy ha

H

és

H'

a hiperbola

C

csúcspontjában húzott érintőnek az

e_{1}

, illetve

e_{2}

aszimptotával való metszéspontja,

O

az aszimptoták metszéspontja, akkor

H O = H' O = F O = c

a hiperbola fókusztávolsága,

C O = a

a nagytengely,

H C = H' C = b

a képzetes tengely és fennáll, hogy

\begin{matrix} a^{2} + b^{2} = c^{2} . \end{matrix}

(1)

F O G

és

H O C

háromszögek egybevágóságából

\begin{matrix} O C = O G = a és b = H C = F G = d, \end{matrix}

továbbá

\begin{matrix} F C = R miatt c = R + a . \end{matrix}

E két utóbbi összefüggést (1)-be helyettesítve rendezés után azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{a}{d} = \frac{1 - {(R / d)}^{2}}{2 R / d} = tg (δ / 2) . \end{matrix}

(2)

A mechanikai energia és az impulzusmomentum megmaradását a

V_{1}

és

C

pontokra felírva

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m c^{2} - \frac{γ M m}{R}, \end{matrix}

(3)

\begin{matrix} m v d = m c R, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} \frac{R}{d} = \frac{v}{c} = \sqrt[]{1 - \frac{2 γ M}{R c^{2}}} = \sqrt[]{1 - \frac{v_{sz}^{2}}{c^{2}}} . \end{matrix}

(4)

Itt

γ = 6, 67 \cdot 10^{- 11} {N m}^{2}/ {k g}^{2}

a gravitációs állandó,

M = 2, 0 \cdot 10^{30} kg

R = 7, 0 \cdot 10^{8} m

c = 3, 0 \cdot 10^{8} m/s

v_{sz} = \sqrt[]{\frac{2 γ M}{R}} \approx 6, 2 \cdot 10^{6} m/s

pedig a szökési sebesség a Nap felszínén. (4)-et (2)-be írva

\begin{matrix} \frac{δ}{2} \approx tg \frac{δ}{2} = \frac{{(v_{sz} / c)}^{2}}{2 \sqrt[]{1 - {(v_{sz} / c)}^{2}}} \approx \frac{1}{2} {(\frac{v_{sz}}{c})}^{2}, (v_{sz} / c < < 1) \end{matrix}

ahonnan a keresett eltérülés

\begin{matrix} δ \approx {(\frac{v_{sz}}{c})}^{2} = 4, 2 \cdot 10^{- 6} rad = 0, 87 szögmásodperc . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. A (3) energiamérleg szerint

v^{2} / c^{2} = 1 - v_{sz}^{2} / c^{2} \sim 1

kb.

10^{- 4}

pontossággal; vagyis a "fényrészecske'' csak igen kis mértékben gyorsul a Nap gravitációs terében.
2. A relativitáselmélet alapján kapott eltérülés

δ_{rel} = 1, 74 "

, éppen kétszerese a klasszikus közelítésnek míg a teljes napfogyatkozáskor megfigyelhető érték

δ_{kísérlet} = 1, 86 "

(Budó ‐ Mátrai: Kisérleti fizika III., 314. o.).

Boda Imre (Kaposvár, Táncsics M. Gimn. III. o. t.)