Kezdőlap


Feladat:	2298. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szekeres Tamás
Füzet:	1989/február, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felületi feszültségből származó energia, Görbületi nyomás, Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/március: 2298. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $r_{1}$ és $r_{2}$ sugarú szappanbuborék a belsejében $N_{1}$ , illetve $N_{2}$ részecskéből álló, ideálisnak tekinthető gázt tartalmaz, amelynek nyomása $p_{1}$ , illetve $p_{2}$ . Az állapotegyenlet szerint

\begin{matrix} p_{1} \cdot \frac{4 π}{3} r_{1}^{3} = N_{1} k T, p_{2} \cdot \frac{4 π}{3} r_{2}^{3} = N_{2} k T, \end{matrix}

(1a, 1b)

ahol

T

a gáz (közös) hőmérséklete,

k

a Boltzmann-állandó. A buborék belsejében uralkodó nyomás az alábbi egyensúlyi feltételekből határozható meg:

\begin{matrix} p_{1} = p_{0} + \frac{4 α}{r_{1}}, p_{2} = p_{0} + \frac{4 α}{r_{2}}, \end{matrix}

(2a, 2b)

Itt

\frac{4 α}{r_{i}}

(i = 1, 2)

a két szabad felülettel rendelkező buborék görbületi (Laplace) nyomása.
Legyen az egyesülés során keletkező új buborék sugara

r

, a bezárt gáz nyomása

p

. Ekkor a fenti meggondolás szerint:

\begin{matrix} p \cdot \frac{4 π}{3} \cdot r^{3} = N k T, p = p_{0} + \frac{4 α}{r}, \end{matrix}

(3a, 3b)

ahol nyilván

\begin{matrix} N = N_{1} + N_{2} \end{matrix}

(4)

a tömegmegmaradás miatt. A (2a), (2b), (3b) egyensúlyi feltételeket az (1a), (1b), (3a) állapotegyenletekbe helyettesítve (4) felhasználásával azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} (p_{0} + \frac{4 α}{r}) r^{3} = (p_{0} + \frac{4 α}{r_{1}}) r_{1}^{3} + (p_{0} + \frac{4 α}{r_{2}}) r_{2}^{3}, \end{matrix}

(5)

amely a keletkező buborék ismeretlen

r

sugarára nézve harmadfokú egyenlet. Ez a Cardano-képlet segítségével, vagy számszerű adatok ismeretében numerikus módszerekkel megoldható. Most csak két határesetet vizsgálunk meg:
I. A víz‐levegő határfelületi feszültsége szobahőmérsékleten

α = 7, 3 \cdot 10^{- 2} N/m

és szokványos körülmények között

p_{0} = 10^{5} {N/m}^{2}

. Ezért

r ≫ \frac{4 α}{p_{0}} \approx 3 μ m

, vagyis makroszkopikus buborékok esetén a felületi feszültségből származó görbületi nyomás elhanyagolható a külső nyomás mellett (a buborék belsejében gyakorlatilag nincs "túlnyomás''). Ekkor (5) az

\begin{matrix} r^{3} = r_{1}^{3} + r_{2}^{3} \end{matrix}

alakra egyszerűsödik, vagyis a térfogatok összeadódnak.
II. Ha a buborékok egyesülése pl. vákuumban megy végbe, előállhat az előző eset fordítottja makroszkopikus buborékméret esetén is:

\begin{matrix} \frac{4 α}{r_{i}} ≫ p_{0} (i = 1, 2) . \end{matrix}

Ekkor ugyancsak (5) alapján

\begin{matrix} r^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2}, \end{matrix}

azaz a buborékok összfelülete az egyesülés során változatlan.

Szekeres Tamás (Budapest, I. István Gimn., II. o. t.)