Kezdőlap


Feladat:	2295. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Garai Vilmos , Kégl Balázs
Füzet:	1988/december, 471 - 472. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kirchhoff-törvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/február: 2295. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Folyjon az 1. ábrának megfelelően az egyik ágban $I_{1}$ , a másikban $I_{2}$ áram.

1. ábra

Ekkor

\begin{matrix} I_{1} = \frac{U_{0}}{R_{1} + R_{2}}, & (1) \\ I_{2} = \frac{U_{0}}{R_{3} + R_{4}} . & (2) \end{matrix}

Ha a telep negatív sarkát vesszük a nulla potenciálú pontnak, akkor

\begin{matrix} U_{A} = I_{1} R_{2} = \frac{U_{0}}{R_{1} + R_{2}} R_{2}, & (3) \\ U_{B} = I_{2} R_{4} = \frac{U_{0}}{R_{3} + R_{4}} R_{4} . & (4) \end{matrix}

Így az

A

és

B

pontok között fellépő feszültség:

\begin{matrix} U_{A B} = U_{A} - U_{B} = U_{0} \frac{R_{2} R_{3} - R_{1} R_{4}}{(R_{1} + R_{2}) (R_{3} + R_{4})} . \end{matrix}

(5)

2. ábra

Folyjon az ideális ampermérő bekapcsolása után a főáramkörben

I

, az

R_{1}

ellenálláson keresztül

I_{1}

, az

A

és

B

pontok között

I_{2}

áram. Ekkor Kirchhoff csomóponti törvénye szerint a 2. ábrán látható áramok folynak az egyes ellenállásokon. A huroktörvényt három független körre is felírhatjuk:

\begin{matrix} I_{1} R_{1} + (I_{1} - I_{2}) R_{2} = U_{0}, & (6) \\ (I - I_{1}) R_{3} + (I - I_{1} + I_{2}) R_{4} = U_{0}, & (7) \\ I_{1} R_{1} = (I - I_{1}) R_{3} . & (8) \end{matrix}

A (6‐8) egyenletrendszerből:

\begin{matrix} I_{2} = U_{0} \frac{R_{2} R_{3} - R_{1} R_{4}}{R_{1} R_{2} (R_{3} + R_{4}) + R_{3} R_{4} (R_{2} + R_{1})} . \end{matrix}

Ekkora áramot mérne az

A

és

B

pontok közé kapcsolt ideális ampermérő.
A két kiszámított mennyiség hányadosa:

\begin{matrix} R^{*} = \frac{U_{A B}}{I_{2}} = \frac{R_{1} R_{2} (R_{3} + R_{4}) + R_{3} R_{4} (R_{1} + R_{2})}{(R_{1} + R_{2}) (R_{3} + R_{4})} = \\ = \frac{1}{\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}} + \frac{1}{\frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{4}}} . \end{matrix}

Ennek szemléletes jelentése (melyről az ábra átrajzolásával könnyen meg is győződhetünk): a hálózatnak az

A

és

B

pontok között mérhető eredő ellenállása, melyben

R_{1}

és

R_{2}

, illetve

R_{3}

és

R_{4}

egymással párhuzamosan, majd ezek sorosan vannak kapcsolva.

3. ábra

Kégl Balázs (Bp., ELTE Apáczai Csere J. Gimn. IV. o. t.)

Megjegyzések. 1) A c) kérdésre a következőképpen is lehetett válaszolni: Elképzelhetjük az egész elrendezést egy fekete dobozban, úgy, hogy csak az

A

, ill.

B

kivezetésekhez férünk hozzá (3. ábra). Ekkor egy ideális voltmérővel mérhető feszültség a fekete doboznak, mint telepnek, az

E_{0}

elektromos erejét jelenti.
Ideális ampermérővel

A

és

B

között a rövidzárási

I_{max}

áramot mérhetjük ki.
Így az

\frac{E_{0}}{I_{max}}

hányados a doboz, mint telep

R_{b}

belső ellenállását adja meg, amely nem más, mint a hálózat eredő ellenállása az

A

és

B

pontok között.

Garai Vilmos (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., III. o. t.)

2) Nagyon sokan hibásan úgy számoltak, mintha az

A

és

B

közé helyezett ampermérő műszer a főágban folyó áram erősségét mérné. A 4. ábrán feltüntetett két rajz csak a kör eredő ellenállása szempontjából ekvivalens, az áramkép lényegesen eltérő.

4. ábra