Kezdőlap


Feladat:	2294. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/február, 91 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Felületi töltéssűrűség, Elektromos fluxus (erővonalszám), Térerősség és erő, Sikkondenzátor, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/február: 2294. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először számítsuk ki a lemezek között kialakuló elektromos tér erősségét! Legyen a $Q_{1}$ , illetve $Q_{2}$ által külön-külön létrehozott elektromos térerősség $E_{1}$ , illetve $E_{2}$ . A vektorok iránya pozitív töltések esetén a lemezekre merőlegesen kifelé mutat. Sík lemezek közelében a tér jó közelítéssel homogén. (Eltekintünk a széleken fellépő erővonal torzulásoktól.)

Vegyük az ábrán látható zárt felületet (

Δ A

alapterületű hasábot), és alkalmazzuk erre a felületre a Gauss-törvényt. A hasáb alkotóján az elektromos fluxus zérus, mert a térerősség párhuzamos a felület síkjával. Csak a két alaplapon lesz járulék a fluxushoz, míg a felület által határolt térben a töltés nagysága

\frac{Q_{1}}{A} Δ A

, és így

\begin{matrix} \frac{Q_{1}}{ε_{0} A} Δ A = 2 E_{1} \cdot Δ A . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} E_{1} = \frac{Q_{1}}{2 ε_{0} A} . \end{matrix}

(1)

Hasonlóan kiszámítható a 2. lemez által létrehozott,

E_{2}

nagyságú elektromos térerősség is:

\begin{matrix} E_{2} = \frac{Q_{2}}{2 ε_{0} A} . \end{matrix}

(2)

A lemezek közti térerősséget az egyes lemezek töltései által külön-külön keltett térerősségeknek a szuperpozíciója adja:

\begin{matrix} E_{bent} = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{2 ε_{0} A} . \end{matrix}

(3)

(A vektor pozitív iránya az ábrán jobbra mutat.) Mivel a térerősség homogén a lemezek között, a síkkondenzátor feszültsége:

\begin{matrix} U = E_{bent} \cdot d = \frac{Q_{1} - Q_{2}}{2 ε_{0} A} d . \end{matrix}

(4)

A lemezek között ható erőt általánosan úgy számíthatnánk ki, hogy felosztanánk az egyik lemezt azonos,

Δ A

nagyságú elemi darabkákra, amelyeken belül a másik lemez által létrehozott tér közel állandó; majd meghatároznánk az elemi darabkákra ható elemi erőket, és végül az összes ilyen elemi erőt összegeznénk. A jelen esetben ezek az "elemi erők'' azonos nagyságúak és irányúak, valamint

Δ A

-val arányosak. A tér homogenitása miatt:

\begin{matrix} Δ F = \frac{Q_{1}}{A} Δ A \cdot E_{2} . \end{matrix}

Így ezek összege, a lemezek között ható erő:

\begin{matrix} F = \sum Δ F = \frac{Q_{1} E_{2}}{A} \sum Δ A = Q_{1} E_{2} = \frac{Q_{1} Q_{2}}{2 ε_{0} A} . \end{matrix}

(5)

Természetesen, ha az előző számításban felcserélnénk a két lemez szerepét (a 2. lemezre ható erőt számítanánk ki), akkor ugyanazt az eredményt kapnánk az erőre, ami abból is látható, hogy (5)-ben a végeredmény

Q_{1}

-re és

Q_{2}

-re szimmetrikus. Mindez összhangban van Newton III. törvényével.