Kezdőlap


Feladat:	2285. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Peták Attila
Füzet:	1989/január, 37 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Munkatétel, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/január: 2285. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először határozzuk meg a nehézségi erő értékét a bolygó belsejében. Ahogy az elektrosztatikában a Coulomb törvényből levezethető a Gauss törvény és viszont, úgy a tömegvonzás törvényét is átfogalmazhatjuk. Válasszunk egy $r$ sugarú, a bolygóval koncentrikus gömböt. A gömböt elhagyó gravitációs fluxus arányos a gömbbe zárt tömeggel, azaz $r^{3}$ -nel (itt kihasználtuk, hogy a bolygó sűrűsége állandó). A fluxus egyenletesen oszlik el a gömbfelületen, ami $r^{2}$ -nel arányos.

A térerősség tehát

\frac{r^{3}}{r^{2}} = r

-rel arányos, vagyis lineárisan függ a távolságtól:

\begin{matrix} g (r) = \frac{r}{R} g_{0} . \end{matrix}

(1)

Az alagútban mozgó testre ható súrlódási erő az ábra alapján:

\begin{matrix} F_{s} = μ N = μ m g (r) sin ε . \end{matrix}

(2)

Írjuk fel a szinusztételt az

O A P

háromszögre:

\begin{matrix} \frac{sin ε}{sin φ} = \frac{R}{r}, \end{matrix}

(3)

ahol

φ = \frac{π - α}{2}

, így

sin φ = cos \frac{α}{2}

. A három egyenlet egybevetéséből a súrlódási erő,

\begin{matrix} F_{s} = μ m \frac{r}{R} g_{0} \cdot \frac{R}{r} cos \frac{α}{2} = μ m g_{0} cos \frac{α}{2}, \end{matrix}

ami a test helyzetétől függetlenül állandó.
Mivel az alagút két végén a gravitációs potenciál megegyezik, a súrlódási erő munkája a kezdeti mozgási energiával egyezik meg, vagy kisebb annál:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} \geq F_{s} \cdot 2 R sin \frac{α}{2}, \end{matrix}

ahonnan az átjutás feltétele:

\begin{matrix} v_{0} \geq \sqrt[]{2 R μ g_{0} sin α} . \end{matrix}

Peták Attila (Budapest, Berzsenyi Dániel Gimn., III. o. t.)