Kezdőlap


Feladat:	2284. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mekis Attila
Füzet:	1989/február, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/január: 2284. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyük fel az 1. ábrán látható koordináta-rendszert!

Vízszintes hajításnál

\begin{matrix} v_{x} (t) = v_{0}, v_{y} (t) - g t, \end{matrix}

a sebesség nagysága

\begin{matrix} v (t) = \sqrt[]{v_{0}^{2} + g^{2} t^{2}} . \end{matrix}

Legyen a feladatban rögzített sebesség

V ≧ v_{0}

V

a sebessége a testnek az eldobás utáni

t = \frac{\sqrt[]{V^{2} - v_{0}^{2}}}{g}

időpillanatban. Ebben a pillanatban az elmozdulás komponensei

\begin{matrix} x = v_{0} t = \frac{v_{0} \sqrt[]{V^{2} - v_{0}^{2}}}{g}, & (1) \\ y = \frac{g}{2} t^{2} = \frac{V^{2} - v_{0}^{2}}{2 g} . & (2) \end{matrix}

v_{0}

kiküszöbölésével keressünk összefüggést

x

és

y

között! A (2) egyenletből

\begin{matrix} v_{0}^{2} = V^{2} - 2 g y, V^{2} - v_{0}^{2} = 2 g y . \end{matrix}

Ezeket behelyettesitve az (1)-ből adódó

\begin{matrix} g^{2} x^{2} = v_{0}^{2} (V^{2} - v_{0}^{2}) \end{matrix}

összefüggésbe, kapjuk:

\begin{matrix} g^{2} x^{2} = (V^{2} - 2 g y) 2 g y . \end{matrix}

a = \frac{V^{2}}{4 g}

jelöléssel a fenti összefüggés rendezés után így írható:

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{{(2 a)}^{2}} + \frac{{(y - a)}^{2}}{a^{2}} = 1. \end{matrix}

Ez egy ellipszis egyenlete, amelynek középpontja a

(0; a) = (0; 40, 7)

pont, kistengelye

a = 40, 7 m

, nagytengelye

2 a = 81, 4 m

.
Megmutatjuk, hogy az ellipszis minden pontjához van olyan

v_{0} ≦ V

nagyságú kezdősebesség, hogy a test a

V

sebességet az ellipszisnek ebben a pontjában éri el, tehát azt, hogy az ellipszis minden pontja hozzátartozik a mértani helyhez. Válasszunk ki egy

y_{1} ≦ 2 a = \frac{V^{2}}{2 g}

ordinátájú pontot az ellipszisen

(y_{1} ≧ 0)

, amely a kezdőponttól pl. pozitív

x_{1}

irányban helyezkedik el, ennek

x_{1} ≧ 0

abszcisszáját egyértelműen meghatározza az

\begin{matrix} \frac{x_{1}^{2}}{{(2 a)}^{2}} + \frac{{(y_{1} - a)}^{2}}{a^{2}} = 1 \end{matrix}

összefüggés.
Másrészt az előbbiekben láttuk, hogy a

v_{0}

kezdősebességgel elindított test a

P (\frac{v_{0} \sqrt[]{V^{2} - v_{0}^{2}}}{g}, \frac{V^{2} - v_{0}^{2}}{2 g})

pontban ér el

V

sebességet. Ha ‐ az

y_{1} = \frac{V^{2} - v_{0}^{2}}{2 g}

egyenlőségből kiindulva ‐

\begin{matrix} v_{0} = \sqrt[]{V^{2} - 2 g y_{1}} \end{matrix}

kezdősebességet választunk

(y_{1} ≦ \frac{v^{2}}{2 g} miatt V^{2} - 2 g y_{1} ≧ 0)

, akkor a test az

y_{1} = \frac{V^{2} - v_{0}^{2}}{2 g}

ordinátájú,

x'_{1} = \frac{v_{0} \sqrt[]{V^{2} - v_{0}^{2}}}{g}

abszcisszájú pontban éri el a

V

sebességet. Mivel az előzőek szerint

x'_{1} (≧ 0)

kielégíti az

\begin{matrix} \frac{{(x'_{1})}^{2}}{{(2 a)}^{2}} + \frac{{(y_{1} - a)}^{2}}{a^{2}} = 1 \end{matrix}

összefüggést, így szükségképpen

x'_{1} = x_{1}

, vagyis a

v_{0} = \sqrt[]{V^{2} - 2 g y_{1}}

kezdősebességgel indított test éppen az ellipszis

(x_{1}, y_{1})

pontjában éri el a

V

nagyságú sebességet.

Mekis Attila (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., II. o. t.)