Kezdőlap


Feladat:	2268. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Wiandt Tamás
Füzet:	1988/december, 468 - 469. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gázok egyéb állapotváltozása, I. főtétel, Egyéb tágulási munka, Ideális gáz belső energiája (Állapotegyenletek), Ideális gáz állapotegyenlete, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/november: 2268. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás.
a) A $\frac{Δ_{p}}{Δ_{V}} = a_{1} = áll .$ feltétel azt jelenti, hogy ilyen folyamat során a rendszer állapotát $p$ ‐ $V$ diagrammon ábrázolva egyenest kapunk.

\begin{matrix} \frac{p - p_{0}}{V - V_{0}} = a_{1}, \end{matrix}

ebből:

\begin{matrix} p = a_{1} V + (- a_{1} V_{0} + p_{0}) . \end{matrix}

másrészt:

\begin{matrix} p V = N k T, \end{matrix}

így a hőmérséklet a folyamat során

\begin{matrix} T (V) = \frac{T_{0}}{p_{0} V_{0}} p V = \frac{T_{0}}{p_{0} V_{0}} [a_{1} V^{2} + (- a_{1} V_{0} + p_{0}) V] . \end{matrix}

Abból, hogy e függvénynek

V_{0}

-ban maximuma van (deriválással, vagy teljes négyzetté alakítással) az

\begin{matrix} a_{1} = - \frac{p_{0}}{V_{0}} = - 10^{5} {Pa/m}^{3} \end{matrix}

értéket kapjuk.
b) A második folyamat során

\begin{matrix} \frac{p - p_{0}}{V - V_{0}} = a_{2}, így p = a_{2} V + p_{0} - a_{2} V_{0} . \end{matrix}

Az első főtételt alkalmazva a folyamat során felvett hő:

\begin{matrix} Q = Δ E + W' = \frac{5}{2} N k (T - T_{0}) + \frac{(V - V_{0}) (p + p_{0})}{2}, \end{matrix}

ahol felhasználtuk, hogy a kétatomos nitrogén gáz hőkapacitása

\frac{5}{2} N k, W'

pedig a

p

‐

V

állapotgörbe alatti trapéz területe.

T = \frac{p V T_{0}}{p_{0} V_{0}} t

behelyettesítve, majd

p

-t is

V

-vel kifejezve:

\begin{matrix} Q (V) = 3 a_{2} V^{2} + V (\frac{7}{2} p_{0} - \frac{7}{2} a_{2} V_{0}) - \frac{7}{2} p_{0} V_{0} + \frac{1}{2} a_{2} V_{0}^{2} . \end{matrix}

Q (V)

függvénynek

V_{0}

-ban maximuma kell legyen, így

\begin{matrix} a_{2} = \frac{7}{2} \frac{p_{0}}{V_{0}} = - 1,4 \cdot 10^{5} {Pa/m}^{3} . \end{matrix}

Wiandt Tamás (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján

II. megoldás. A feladatot úgy is megoldhatjuk, hogy felhasználjuk a következő állításokat:
a) A magasabban futó izotermák magasabb hőmérsékletű állapotokat határoznak meg.
b) A magasabban futó adiabatákról alacsonyabb adiabatára lépve (bármely kvázisztatikus folyamat során) a rendszer hőt ad le.
Innen nyilvánvaló, hogy a feladat megoldásához az adott pontbeli érintők meredekségét kell meghatároznunk. Ezt legegyszerűbben deriválással tehetjük.