Kezdőlap


Feladat:	2263. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Wolkensdorfer Péter
Füzet:	1988/október, 332 - 335. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Tömegközéppont mozgása, Harmonikus rezgőmozgás, Függvények grafikus elemzése, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/október: 2263. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Kezdetben a tömegközéppont is $V$ sebességgel halad. A rugalmatlan ütközés következtében az ütköző test elveszti sebességét, a másik test mozgása az ütközés pillanatától kezdve harmonikus rezgőmozgás, amelynek frekvenciája $f_{0} = \frac{1}{2 π} \sqrt[]{\frac{D}{m}}$ . A nyugalmi helyzet az a pont, ahol ez a test az ütközés pillanatában volt, vagyis a faltól $L$ távolságra. Az energiamegmaradás értelmében

\begin{matrix} \frac{1}{2} m V^{2} = \frac{1}{2} D A^{2}, \end{matrix}

ahonnan a rezgés amplitúdója:

\begin{matrix} A = V \sqrt[]{\frac{m}{D}} . \end{matrix}

Ebből láthatjuk, hogy teljesülnie kell az

L > V \sqrt[]{\frac{m}{D}}

feltételnek, sőt, mivel a lineáris erőtörvény túl nagy összenyomás esetén érvényét veszti, további leírásunk csak az

\begin{matrix} L ≫ V \sqrt[]{\frac{m}{D}} \end{matrix}

(1)

feltétel esetén lesz érvényes.
A rezgőmozgást végző test kitérés‐idő függvénye

\begin{matrix} y = A \cdot sin [ω_{0} (t - t_{0})], \end{matrix}

ahol

t_{0}

az ütközés időpillanata,

ω_{0} = 2 π f_{0} = \sqrt[]{\frac{D}{m}}

. A tömegközéppont

x = \frac{L - y}{2}

koordinátája így az

\begin{matrix} x = \frac{L}{2} - \frac{V}{2} \sqrt[]{\frac{m}{D}} sin [\sqrt[]{\frac{D}{m}} (t - t_{0})] \end{matrix}

(2)

függvény szerint változik, ahol

x

-et a faltól mérjük (1. ábra). A fallal nem érintkező test rezgőmozgásából egy fél periódus zajlik le, mert ezután a rugóban már húzóerő ébred, ami elrántja a másik testet a faltól. A fenti (2) képlet tehát a fallal való érintkezés időtartamára érvényes. Ez az időtartam:

\begin{matrix} π \sqrt[]{\frac{m}{D} .} \end{matrix}

(3)

1‐3 ábrák

t - t_{0} > π \sqrt[]{\frac{m}{D}}

esetén (az elválás után) a rendszerre már nem hat külső erő: a tömegközéppont az elválás pillanatától állandó

\frac{V}{2}

sebességgel távolodik a faltól (2. ábra folytonos vonallal jelölt görbéje).
A testek az elválás után a tömegközéppont körül rezegnek. A tömegközéppont a rugó közepénél található és állandó

V / 2

sebességgel mozog, vagyis mindkét test egy-egy

L / 2

hosszúságú rugón végez harmonikus rezgőmozgást. Az ideális rugó direkciós ereje arányos a nyugalmi hosszának reciprokával, ezért most

D^{*} = 2 D

. A rezgés frekvenciája:

\begin{matrix} f = \frac{1}{2 π} \sqrt[]{\frac{D^{*}}{m}} = \frac{1}{2 π} \sqrt[]{\frac{2 D}{m}} . \end{matrix}

(4)

A rendszernek két szabadsági foka van: a

V / 2

sebességű haladó mozgás és az

f

frekvenciájú rezgés. Az elsőre

\frac{1}{2} 2 m {(\frac{V}{2})}^{2} = \frac{m V^{2}}{4}

energia jut. A tömegközépponttal együttmozgó koordinátarendszerből nézve a testek sebessége a nyugalmi helyzeten való áthaladáskor

\frac{V}{2}

és

- \frac{V}{2}

, így a rezgési energia

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot m {(\frac{V}{2})}^{2} = \frac{m V^{2}}{4}

. A visszafelé haladó rendszer teljes energiája a tömegközépponti rendszerben mérhető energia és a "tömegközéppont mozgási energiájának'' összege:

\begin{matrix} \frac{m V^{2}}{4} + \frac{m V^{2}}{4} = \frac{m V^{2}}{2} . \end{matrix}

A rendszer tehát a haladó mozgásban és a rezgésben egyenlő energiát tárol.
A tömegközéppont helyének, valamint a tömegközéppont és a testek sebességének időfüggését az 1. és a 2. ábra mutatja. Az ütközés

t_{0}

időpillanatában a helyfüggvényben törés, a tömegközéppont és a fallal ütköző test sebességfüggvényében ugrás látható. Ez a rugalmatlan ütközésnek köszönhető, ami durva beavatkozás a rendszer "életébe''.

Wolkensdorfer Péter (Székesfehérvár, József A. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A megoldók körében meglehetős zavar uralkodott a szabadsági fok fogalmával kapcsolatban. Definíció szerint a szabadsági fok azon független koordináták száma, amivel a rendszer térbeli helyzete egyértelműen rögzíthető. Ezért a fentebb vizsgált rendszer szabadsági fokainak száma 2. A rendszer helyzetét rögzíthetjük a két test koordinátáinak megadásával, de úgy is eljárhatunk, hogy megadjuk a tömegközéppont és az egyik test helyzetét (a másik test helyzete ebből már következik, a tömegek adottak). Ez utóbbi módszerhez kötődik az a szóhasználat, hogy a rendszernek transzlációs és rezgési szabadsági foka van.
Általában egy

n

testet tartalmazó, egyenes mentén mozgó rugós rendszer rezgési szabadsági fokainak a száma

n - 1

, hiszen

n

a teljes szabadsági fok és ebből

1

az egyenes mentén való közös haladó mozgást (tömegközéppont mozgása) jelenti. Hasonlóan lehet gondolkodni több dimenzióban is, ekkor a forgást is figyelembe kell venni.
Az energiatárolási képesség a statisztikus fizika egyenlő osztozkodás (ekvipartíció) tétele szerint kapcsolatban áll a rendszer szabadsági fokainak számával: minden olyan koordinátára és impulzusra, amely egy egyensúlyban lévő rendszer összenergiájának felírásában négyzetesen szerepel, egyenlő,

\frac{1}{2} k T

átlagos energia jut. Ideális gáz esetén az energia csak a részecskék impulzusnégyzetétől függ, ezek száma pedig megegyezik a szabadsági fokok számával (impulzuskomponensekben gondolkodva). Viszont már a fenti rezgő rendszer esetén az energiakifejezésben szereplő négyzetes tagok száma nagyobb a rendszer szabadsági fokainak a számánál. A szabadsági fokok száma tehát nem feltétlenül egyezik meg az energiatárolási képességek számával: harmonikus rezgések esetén elterjedt szóhasználat szerint a rendszer energia felvevés szempontjából "két szabadsági foknak megfelelően'' viselkedik.

2. Tanulságos az energia faltól való elválás utáni megoszlásának időbeli változását nyomon követni (a fallal való érintkezés alatt a harmonikus rezgés szokásos képletei érvényesek ). Tömegközépponti rendszerből nézve a rugó nyújtatlan állapotában a testek sebessége

- \frac{V}{2}

, illetve

\frac{V}{2}

. A sebességek változását így itt a

- \frac{V}{2} cos ω t

, illetve a

\frac{V}{2} cos ω t

függvények írják le. A mozgási energia a nyugvó rendszerből nézve: (az időt az elválástól mérjük)

\begin{matrix} E_{1 m} = \frac{1}{2} m {(\frac{V}{2} - \frac{V}{2} cos ω t)}^{2} = \frac{m V^{2}}{8} {(1 - cos ω t)}^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} E_{2 m} = \frac{1}{2} m {(\frac{V}{2} + \frac{V}{2} cos ω t)}^{2} = \frac{m V^{2}}{8} {(1 + cos ω t)}^{2} . \end{matrix}

Ha a szabadsági fokokra jutó energiát akarjuk számolni, akkor ezekhez még hozzá kell adni az egyes testek helyzeti energiáit. A rugóban tárolt helyzeti energia mindkét testre

\frac{1}{2} (2 D) \cdot x^{2}

, ahol

x

a test kitérése az egyensúlyi helyzetéhez képest,

x = \pm \frac{V}{2 ω} sin ω t

. Az egyes szabadsági fokokra jutó energia így

(ω^{2} = \frac{2 D}{m})

\begin{matrix} E_{1} = \frac{m V^{2}}{8} {(1 - cos ω t)}^{2} + \frac{1}{2} (2 D) \cdot \frac{V^{2}}{4 ω^{2}} sin^{2} ω t = \frac{m V^{2}}{4} (1 - cos ω t), \end{matrix}

és hasonlóan:

\begin{matrix} E_{2} = \frac{m V^{2}}{4} (1 + cos ω t) . \end{matrix}

A kettő összege a teljes

\frac{m V^{2}}{2}

energia, időbeli átlaga mindkét esetben

\frac{m V^{2}}{4}

(cos ω t

időátlaga nulla). Az energiák ilyen számolása annak felel meg, amikor a rendszer helyzetét a két test koordinátájával adjuk meg. A 3. ábrán a mozgási energia időfüggését külön ábrázoltuk, a helyzeti energiákat pedig összeadva, mint "rugóenergiát'' rajzoltuk fel

(E_{r} = \frac{1}{2} D {(2 x)}^{2} = 2 \cdot \frac{1}{2} (2 D) x^{2} = \frac{1}{2} D \cdot \frac{V^{2}}{ω^{2}} sin^{2} ω t)

. Amennyiben a rendszer helyzetét a tömegközéppont és az egyik test helyzetével rögzítjük, úgy a transzlációra az időben állandó

2 \cdot \frac{1}{2} m {(\frac{V}{2})}^{2} = \frac{m V^{2}}{4}

energia jut. A rezgés

\frac{1}{4} m V^{2}

energiája a kinetikus és a potenciális energiából tevődik össze. A testek kinetikus energiája külön-külön az

\frac{1}{2} m {(\frac{V}{2} cos ω t)}^{2}

függvénnyel írható le, ennek időátlaga

\frac{m V^{2}}{16}

. Az összes potenciális energia (rugóenergia) az

\frac{1}{4} m V^{2} sin^{2} ω t

függvény szerint változik, időátlaga

\frac{m V^{2}}{8}

3. Amennyiben az (1) feltétel nem teljesül, csak numerikus módszerekkel, lépésről lépésre tudjuk a jelenséget követni.

4. A rendszer egy kétatomos molekula legegyszerűbb modelljének tekinthető.