|
Feladat: |
2251. fizika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csáki Csaba , Czakó Ferenc , Derényi Imre , Láng András , László Ákos , Lévay Ákos , Pásztor Gábor , Szekeres Mária , Wiandt Tamás |
Füzet: |
1988/november,
413 - 415. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Erők forgatónyomatéka, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, A perdületmegmaradás törvénye, Impulzusváltozás törvénye (Pontrendszer impulzusa), Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1987/szeptember: 2251. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Kövessük végig képzeletben, hogy miként zajlik le a kérdéses ‐ meglehetősen összetett és bonyolult ‐ folyamat. Az érdekesebb helyzetekről készítsünk ábrát is! a) Ha óvatosan ráhelyeznénk az tömegű testet a rugóra, akkor az hossznyival összenyomódna a nyújtatlan hosszához képest. A rugó ekkor erőt fejtene ki mindkét végén. Az emelőre a végein , illetve nagyságú erő hatna, a forgástengelynél pedig egy megfelelő nagyságú erő tartana egyensúlyt velük. Mivel az emelő ebben a helyzetben egyensúlyban lenne, a forgatónyomatékok egyensúlya is fenn kell álljon (1. ábra):
1. ábra Ha a rugót jobban összenyomjuk, minta fentebb tárgyalt egyensúlyi helyzet, , akkor az általa kifejtett erő meghaladja az értéket, és az emelő egyensúlya megbomlik. Ilyenkor az tömeg süllyedni kezd, az tömegű test pedig fölfelé gyorsul. Az egyensúlyi helyzetnél hosszabb rugó esetén a helyzet éppen fordított: az tömegű test lefelé gyorsul (illetve kezdetben az alátámasztás miatt egyensúlyban van). b) Vizsgáljuk ezek után az ütközés egyes fázisait! Az tömegű testet magasságból leejtve az sebességgel csapódik a rugó végének (2. ábra).
2. ábra A rugó ekkor még feszültségmentes, majd ahogy az tömegű test lefelé mozog, egyre nagyobb erő ébred benne. Az a) pontban leírtak értelmében az emelő mindaddig nyugalomban marad, míg a rugóerő el nem éri az értéket, vagyis amíg a lefelé mozgó ( tömegű) test át nem halad az -vel jelzett egyensúlyi helyzeten. c) Az egyensúlyi helyzeten való áthaladtakor az tömegű test sebessége , melynek nagyságát az energia-tételből számíthatjuk ki (3. ábra):
3. ábra
| | (3) | ahonnan Ebben a pillanatban az emelő megmozdul, és egyre növekvő szöggyorsulással forogni kezd. A támaszték a továbbiakban nem játszik szerepet, ezért a rajzon föl se tüntetjük. d) A rugó maximálisan összenyomott állapotában (4. ábra) és még a továbbiakban is az emelő szögsebessége egyre nő, egészen addig, míg az tömegű test ismét át nem halad az egyensúlyi helyzetnek megfelelő vonalon (5. ábra). Feltételezzük, hogy a rugó elég ,,kemény'', emiatt az egész folyamat nagyon gyorsan megy végbe és az emelő szögelfordulása nagyon kicsi. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy elhanyagolhatjuk az emelő végpontjainak elmozdulását a 3. és az 5. ábrán látható állapotok közötti időben.
4. ábra
5. ábra Amikor az tömeg áthalad az egyensúlyi helyzeten, az emelő valamekkora szögsebességgel, az tömegű test pedig függőleges sebességgel rendelkezik. Mivel a továbbiakban az tömeg már lefelé fog gyorsulni, sebessége egyre csökken, így a keresett legnagyobb függőleges sebesség éppen . Jelöljük az tömegű test maximális sebességét -vel, s alkalmazzuk az emelőn levő testek tehetetlenségi nyomatékára a jelölést. A és a sebességgel jelölt állapotokra (3. és 5. ábra) felírhatjuk az energia és a perdület megmaradásának törvényét. A helyzeti energia változását a folyamat gyorsasága miatt elhanyagoljuk, így
ahonnan és Az tömegű test sebessége | | (8) | ennek keressük a maximumát különböző , és esetén. Nem szabad azonban megfeledkeznünk arról, hogy ezek a paraméterek nem függetlenek egymástól, hiszen fenn kell állni az (1) egyenlőségnek is. Ebből -t kifejezve és (8)-ba helyettesítve | | (9) | adódik. Ez a kifejezés akkor maximális, ha a nevező minimális, az pedig az , vagy másképpen írva határesetben teljesülne. Azt kaptuk tehát, hogy semmilyen véges aránynál nem lehet az tömegű test függőleges "lendülésének'' maximuma. A sebességre csupán egy felső korlátot adhatunk: értéke tetszőlegesen nagy esetén is biztosan kisebb, mint (Czakó Ferenc)
II. megoldás. Vizsgáljuk a mozgást az egyensúlyi helyzeten való áthaladás pillanatától (3. ábra). Az ütközés első fázisának végén az és az tömegű test egy pillanatig egyenlő sebességgel mozog. Jelöljük -vel a pillanatról pillanatra változó nagyságú rugóerőt, és írjuk fel a forgómozgás alapegyenletét, valamint a lendületváltozás tételét:
( az emelő szöggyorsulását jelöli.) Összegezzük (10)-t az első fázis idejére: | | (12) |
(11) és (12) összevetéséből | |
Az egyensúly (1) feltétele miatt a bal oldal nulla, így Az ütközés második fázisára is felírhatjuk a hasonló egyenleteket, a forgás egyenletét mindjárt összegzett alakban: | | (14) |
Kihasználva, hogy egy ideális rugónál , (14)-ből és (11)-ből, valamint az (1) egyensúlyi feltételből az tömegű test sebességére | | adódik. A diszkusszió további része megyezik az I. megoldáséval. (Wiedemann László)
|
|