Kezdőlap


Feladat:	2249. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Boda Imre , Pollner László
Füzet:	1988/május, 235 - 236. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/szeptember: 2249. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tegyük fel, hogy a súrlódási erők elhanyagolhatók!
Stabil egyensúly esetén a pohárra és a golyókra ható erők eredője zérus, másrészt a pohárra kifejtett forgatónyomaték eredő hatása olyan, hogy az egyensúlyi helyzetéből kibillent poharat visszatéríti az eredeti helyzetébe.
Az 1. ábrán berajzoltuk a pohárra, illetve a golyókra ható erőket abban az esetben, amikor a pohár éppen a kibillenés határán van. (Ekkor már csak az $O$ ponton nyomja a talajt.)

1. ábra

Írjuk fel a felső golyóra ható vízszintes és függőleges erők egyensúlyát meghatározó egyenleteket!

\begin{matrix} N_{1} = K \cdot cos α, & (1) \\ m g = K \cdot sin α . & (2) \end{matrix}

Mivel a pohár is egyensúlyban van,

\begin{matrix} N_{2} = N_{1} . \end{matrix}

(3)

A pohár súlypontja a szimmetriatengelyén van (mindenütt azonos vastagságú a pohár), ezért a súlyának az

O

pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka

M g R

. Az

N_{1}

erő támadáspontja az

O

ponttól

\begin{matrix} l = r + 2 r sin α \end{matrix}

(4)

távolságban van. A pohár akkor billen vissza egyensúlyi helyzetébe, ha a pohárra ható erők eredő forgatónyomatéka a kibillenéssel ellentétes irányú:

\begin{matrix} N_{1} \cdot l ≦ M g R + N_{2} \cdot r . \end{matrix}

(5)

Az ábráról leolvasható, hogy

\begin{matrix} 2 r + 2 r cos α = 2 R . \end{matrix}

(6)

Az (1) és (6) egyenleteket felhasználva a pohár egyensúlyának feltétele:

\begin{matrix} \frac{r}{R} ≧ 1 - \frac{M}{2 m} . \end{matrix}

(7)

Ugyanakkor mindkét golyó nekitámaszkodik a pohárnak:

\begin{matrix} \frac{r}{R} > \frac{1}{2} . \end{matrix}

A két egyenlőtlenséget összefoglalva a stabil egyensúly feltételét az alábbi módon adhatjuk meg:
a) Ha

M < m

és

\frac{r}{R} ≧ 1 - \frac{M}{2 m},

akkora pohár nem borul fel.
b) Ha

M ≧ m

, akkor a (7) feltétel mindig teljesül, így ebben az esetben a pohár nem borulhat fel.

Boda Imre (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A feladat megoldásánál feltételeztük, hogy a pohár

h

magassága elég nagy ahhoz, hogy a két golyó beleférjen.

h ≧ 2 r + 2 r \cdot sin α = 2 (r + \sqrt[]{R (2 r - R)}) .

Ellenkező esetben a 2. ábrának megfelelő elrendezés stabilitási feltételét kellene vizsgálni.

2. ábra

Ezt részben Pollner László végezte el. Ekkor a súrlódási erők lényeges szerepet játszhatnak, így a feladat bonyolultabbá válik.