Kezdőlap


Feladat:	2242. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benczúr András
Füzet:	1988/április, 185 - 186. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Doppler-hatás (Doppler-effektus), Egyéb színkép-sorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/május: 2242. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a hidrogénatomok sebessége $u$ , ennek a megfigyelő irányába eső vetülete

\begin{matrix} v = u \cdot cos 45^{\circ} = u / \sqrt[]{2} . \end{matrix}

A kibocsátott fény Doppler-eltolódást szenved. Feltételezve, hogy

v

elhanyagolható a fénysebességhez képest, a megváltozott

f'

és az eredeti

f

frekvencia kapcsolata:

\begin{matrix} f' = \frac{f}{1 \pm \frac{v}{c}} . \end{matrix}

(

c

a fénysebesség.) Ebből és az

f = c / λ

, illetve

f' = c / λ'

összefüggésekből a hullámhosszak kapcsolatára

\begin{matrix} \frac{c}{λ'} \pm \frac{v}{λ'} = \frac{c}{λ} \end{matrix}

adódik, ahonnan az atomok sebessége

\begin{matrix} \pm v = c (\frac{λ'}{λ} - 1) = c \cdot \frac{Δ λ}{λ} . \end{matrix}

Az előjel, amely a sebesség irányától függ, nyilván érdektelen, így

\begin{matrix} u = \sqrt[]{2} \cdot c \cdot \frac{Δ λ}{λ} . \end{matrix}

A kérdéses hullámhossz kikereshető egy táblázatból, vagy kiszámítható az általánosított Balmer-formulából:

\begin{matrix} \frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{k^{2}} - \frac{1}{n^{2}}) . \end{matrix}

Ebben

R_{H} = 1, 0968 \cdot 10^{7} m^{- 1}

a hidrogénre vonatkozó Rydberg-állandó, a kvantumszámok pedig:

k = 1, n = 2

.
Mindezekből végül

u = 7 \cdot 10^{5} m/s

érték adódik. Ez valóban sokkal kisebb, mint a fénysebesség, tehát jogosan használtuk a nemrelativisztikus Doppler-képletet.

II. megoldás. Tételezzük fel, hogy a H-atom

u

sebessége sokkal kisebb, mint a fénysebesség. Vizsgáljuk a hozzánk érkező hullám két egymás utáni azonos fázisú hullámfrontját; ezeket az ábrán

k_{1}

-gyel, illetve

k'_{2}

-vel jelöltük.

Amikor

k_{1}

elindul, a H-atom az

A

pontban található. Ha helyben maradna, a következő (

k_{1}

-gyel azonos fázisú) hullámfront

k_{2}

lenne. Mivel azonban a hullámforrás mozog, a ténylegesen megjelenő

k'_{2}

hullámfront középpontja nem

A

, hanem

B

. Az atom

1 / f

idő alatt

u / f = \bar{A B}

utat tesz meg.
A sugárzás eredeti (álló sugárforráshoz tartozó) hullámhossza

\bar{C F}

, a rövidülése tehát

\bar{C E}

. Ha

\bar{C D} (= \bar{A B})

sokkal kisebb, mint

k_{2}

sugara (vagyis ha egy periódusidő alatt a fény sokkal nagyobb utat tesz meg, mint a H-atom, vagyis

u ≪ c

), akkor

E D

közelítőleg érintő, azaz

C E D ∢ = 90^{\circ}

. Így

\begin{matrix} Δ λ = \bar{C E} = \bar{C D} \cdot cos α = \bar{A B} \cdot cos α = \frac{u}{f} cos α = \frac{v}{\sqrt[]{2} f} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} u = \sqrt[]{2} \cdot f \cdot Δ λ = \sqrt[]{2} \cdot c \cdot \frac{Δ λ}{λ}, \end{matrix}

s a továbbiak megegyeznek az I. megoldással.