Kezdőlap


Feladat:	2236. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benczúr Péter , Pásztor Gabriella
Füzet:	1988/április, 180 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gázok egyéb állapotváltozása, Ideális gáz állapotegyenlete, Egyéb tágulási munka, I. főtétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/május: 2236. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Írjuk fel az általános gáztörvényt az $1$ molnyi ideális gáz kezdeti- és végállapotára:

\begin{matrix} p_{0} V_{0} & = R T_{0}, & (1) \\ p V & = R T . & (2) \end{matrix}

p - V

diagramon akkor kapunk egyenest, ha

p

lineárisan függ

V

-től, vagyis

\begin{matrix} p = p_{0} + α \cdot (V - V_{0}) . \end{matrix}

(3)

α

állandóról az egyszerűség kedvéért tételezzük fel, hogy pozitív.
Ha a gázt

T_{0}

-ról

T

hőmérsékletűre melegítjük, a belső energiája

Δ U = m c_{V} (T - T_{0})

értékkel változik, s közben

- W

munkát végez a gáz. A tágulási munka a

p - V

diagramon a görbe (jelen esetben az egyenes) alatti terület.

\begin{matrix} - W = \frac{p_{0} + p}{2} (V - V_{0}) . \end{matrix}

A hőtan első főtétele szerint a felvett hő

\begin{matrix} Q = Δ U - W, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} Q = m c_{V} (T - T_{0}) + \frac{p_{0} + p}{2} (V - V_{0}) . \end{matrix}

(4)

A fenti összefüggés jobb oldalán ‐ a kezdeti adatokon kívül ‐

p, V

és

T

egyaránt szerepel. Ezek a mennyiségek azonban nem függetlenek, hiszen (3) szerint

V

-ből

p

meghatározható, (2) pedig mindkettőjüket összekapcsolja a hőmérséklettel. (3)-t (2)-be helyettesítve

V

-re egy másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} V^{2} + (\frac{p_{0}}{α} - V_{0}) V - \frac{R T}{α} = 0, \end{matrix}

melynek megoldása

\begin{matrix} V (T) = (\frac{V_{0}}{2} - \frac{p_{0}}{2 α}) + \sqrt[]{{(\frac{V_{0}}{2} - \frac{p_{0}}{2 α})}^{2} + \frac{R T}{α}} . \end{matrix}

(5)

(Pozitív

α

esetén a négyzetgyök pozitív előjeléhez tartozik csak pozitív térfogat, negatív

α

esetén a helyzet bonyolultabb, ilyenkor az állapotváltozást jellemző egyenes bizonyos izotermákat kétszer is metsz, vagyis

T

nem határozza meg egyértelműen

V

-t és

p

-t.)
Az (5) összefüggést (3)-ba, majd mindkettőt (4)-be helyettesítve megkapjuk a keresett hőfelvétel-hőmérséklet kapcsolatot. Ez a függvénykapcsolat általában nem lineáris,

Q

nem arányos

T

megváltozásával, a folyamat fajhője tehát nem egy állandó szám, hanem a hőmérséklet függvényében változik. Kivételt csupán az

α = 0

(izobar) és az

α = \infty

(izochor) eset képez, ekkor

Q = (m c_{V} + R) (T - T_{0}) = m c_{p} (T - T_{0})

, illetve

Q = m c_{V} (T - T_{0})