Kezdőlap


Feladat:	2235. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szakál Ivetta
Füzet:	1988/november, 411 - 412. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ideális gáz állapotegyenlete, Egyéb állapotváltozás, Tömegpont egyensúlya, Rugalmas erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/május: 2235. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábrán a dugattyúra ható erőket tüntettük fel. Mivel a rugó, illetve a rúd mindkét vége egyforma erőt fejt ki, $p_{A} = p_{B}$ . Másrészt kezdetben a két különböző tartályban levő gáz állapothatározói egyenlőek voltak, így a gáztörvényt használva a következő összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} V_{A} / T_{A} = V_{B} / T_{B} . \end{matrix}

A dugattyúk elmozdulását

x

-szel, illetve

y

-nal jelölve

\begin{matrix} V_{A} = (l_{0} - x) A, V_{B} = (l_{0} + y) A, \end{matrix}

ezért

\begin{matrix} (l_{0} - x) / T_{A} = (l_{0} + y) / T_{B}, \\ y = (T_{B} / T_{A}) (l_{0} - x) - l_{0} . \end{matrix}

x

és

y

közti kapcsolat megállapításánál az a) és a b) feladat megoldása kettéválik.
a) Rugó esetén

F = D (y - x)

erő hat mindkét dugattyúra. Így a tartályban lévő gáz nyomása:

\begin{matrix} p_{A} = p_{k} + F / A = p_{k} + D (y - x) / A . \end{matrix}

Ezután a kezdeti és végállapotra felírva a gáztörvényt,

\begin{matrix} \frac{p_{k} V_{0}}{T_{0}} = \frac{p_{A} V_{A}}{T_{A}} = \frac{[p_{k} + D (y - x) / A] (l_{0} - x) A}{T_{A}} . \end{matrix}

Ebbe

y

-t beírva,

x

-re nézve a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} \frac{x^{2}}{l_{0}^{2}} (\frac{T_{B}}{T_{A}} + 1) - \frac{x}{l_{0}} (\frac{p_{k} A}{l_{0} D} + 2 \frac{T_{B}}{T_{A}}) + \frac{p_{k} A}{l_{0} D} (1 - \frac{T_{A}}{T_{0}}) + \frac{T_{B}}{T_{A}} - 1 = 0. \end{matrix}

Az egyenlet megoldásai:

x_{1} = 0,12 m

x_{2} = 0,0568 m

. Mivel

x

-et úgy vettük fel, hogy

(l_{0} - x) > 0

legyen, ezért csak

x = 0,0568 m

a fizikailag értelmes megoldás. Behelyettesítve

y

egyenletébe:

\begin{matrix} y = 0,0727 m. \end{matrix}

További behelyettesítéssel:

\begin{matrix} p_{A} = 1,159 \cdot 10^{5} Pa \end{matrix}

és

\begin{matrix} F = (p_{A} - p_{k}) A = 159 N. \end{matrix}

b) Mivel a rúd összenyomhatatlan, ezért

x = y

. Ezt a gáztörvényből kapott egyenletbe beírva:

\begin{matrix} (l_{0} - x) / T_{A} = (l_{0} + x) / T_{B} . \end{matrix}

Majd

x

-et kifejezve:

\begin{matrix} x = \frac{(T_{B} / T_{A}) - 1}{(T_{B} / T_{A}) + 1} \cdot l_{0} . \end{matrix}

Mivel

T_{B} / T_{A} = 4

, ezért

x = 0,06 m

. A gáztörvénybe behelyettesítve a nyomásra

\begin{matrix} p_{A} = 1,25 \cdot 10^{5} Pa, \end{matrix}

a rúderőre pedig

\begin{matrix} F = (p_{A} - p_{k}) A = 250 N \end{matrix}

adódik.
Szakál Ivetta (Sopron, Széchenyi I. Gimn., I. o. t.)