Kezdőlap


Feladat:	2230. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Benczúr András , Cynolter Gábor , Gyuris Viktor , Horváth András , Tasnádi Tamás , Tóth Tamás
Füzet:	1988/április, 177 - 179. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ideális gáz állapotegyenlete, Tágulási munka, Határozott integrál, Entrópia, I. főtétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/április: 2230. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tételezzük fel, hogy a pumpát és a tartályt összekötő csődarab térfogata elhanyagolhatóan kicsi, így a pumpa benyomásakor a benne levő összes levegő a tartályba kerül.
Jelöljük $p_{i}$ -vel azt a nyomást, amely az $i$ -edik pumpálás után alakul ki a tartályban ( $p_{0}$ a külső légnyomás), és számoljuk ki $p_{i}$ -ből $p_{i + 1}$ -t! Amikor a dugattyú járatában levő $V_{p}$ térfogatú és $p_{0}$ nyomású levegőt elkezdjük összenyomni, a nyomás állandó térfogat mellett nő mindaddig, míg el nem éri $p_{i}$ értékét (mindkét szelep zárva van). Jelöljük $V_{x}$ -szel azt a térfogatot, amelyhez ez a nyomásérték tartozik. Mivel a hőmérséklet állandó

\begin{matrix} p_{0} \cdot V_{p} = p_{i} \cdot V_{x} . \end{matrix}

Mivel a nyomás a

p (V) = p_{0} \cdot V_{p} \cdot \frac{1}{V}

függvény szerint változik, az összenyomás ezen szakaszában a gázon végzett munka a

p (V)

függvény görbe alatti területe,

\begin{matrix} W_{i + 1}^{(1)} = - \int_{V_{p}}^{V_{x}} p (V) d V = p_{0} \cdot V_{p} \cdot ln \frac{V_{p}}{V_{x}} = p_{0} V_{p} \cdot ln \frac{p_{i}}{p_{0}} . \end{matrix}

Az összenyomás második szakaszában (amikor az

S_{1}

szelep már nyitva van), a levegő

V_{2} + V_{x}

térfogatról izotermikusan

V_{2}

térfogatúra csökken:

\begin{matrix} (V_{2} + V_{x}) \cdot p_{i} = V_{2} \cdot p_{i + 1}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} p_{i + 1} = p_{i} + p_{0} \cdot \frac{V_{p}}{V_{2}} . \end{matrix}

Látható, hogy a nyomás mindig ugyanakkora értékkel növekszik,

p_{i}

-k számtani sorozatot alkotnak. Célszerű bevezetni a ,,sűrítési arányra'' az

\begin{matrix} ε = \frac{V_{p}}{V_{2}} \end{matrix}

jelölést, ezzel

p_{i + 1} = p_{i} + ε \cdot p_{0}

, vagyis

\begin{matrix} p_{i} = p_{0} (1 + i \cdot ε) . \end{matrix}

(i + 1)

-edik pumpálás második szakaszában a végzett munka

\begin{matrix} W_{i}^{(2)} = - \int_{V_{2} + V_{x}}^{V_{2}} p (V) d V & = p_{i} (V_{2} + V_{x}) \cdot \int_{V_{2}}^{V_{2} + V_{x}} \frac{1}{V} d V = \\ = (p_{i} V_{2} + p_{i} V_{x}) ln (1 + \frac{V_{x}}{V_{2}}) & = (p_{0} V_{p} + p_{i} V_{2}) ln (1 + \frac{V_{p} \cdot p_{0}}{V_{2} \cdot p_{i}}) . \end{matrix}

A dugattyú

(i + 1)

-edik összenyomása során a teljes munkavégzés

\begin{matrix} W_{i + 1} & = W_{i + 1}^{(1)} + W_{i + 1}^{(2)} = p_{0} V_{p} [ln \frac{p_{i}}{p_{0}} + (1 + \frac{p_{i} V_{2}}{p_{0} V_{0}}) ln (1 + \frac{p_{0} V_{p}}{p_{i} V_{2}})] = \\ = p_{0} \cdot V_{2} \cdot ε \cdot [ln (1 + i ε) + (1 + \frac{1 + i ε}{ε}) ln (1 + \frac{ε}{1 + i ε})] = \\ = p_{0} \cdot V_{2} {[1 + (i + 1) ε] ln [1 + (i + 1) ε] - (1 + i ε) ln (1 + i ε)} . \end{matrix}

Mennyi munkát végzünk összesen a dugattyú

n

-szeri összenyomása során?

\begin{matrix} W_{összes} = \sum_{i = 1}^{n} W_{i} = p_{0} V_{2} {(1 + ε) ln (1 + ε) + \\ + (1 + 2 ε) ln (1 + 2 ε) - (1 + ε) ln (1 + ε) + (1 + 3 ε) ln (1 + 3 ε) - (1 + 2 ε) ln (1 + 2 ε) + ... \\ ... + (1 + n ε) ln (1 + n \cdot ε) - (1 + n ε - ε) ln (1 + n ε - ε)} = \\ = p_{0} V_{2} \cdot \frac{p_{n}}{p_{0}} \cdot ln \frac{p_{n}}{p_{0}} . \end{matrix}

Ha az elérendő

p

nyomás éppen

n

pumpálási ciklus után alakul ki (tételezzük fel az egyszerűség kedvéért, hogy ez az

n

egész szám), akkor

p = p_{n}

és a keresett munkavégzés

\begin{matrix} W = p \cdot V_{2} \cdot ln \frac{p}{p_{0}} . \end{matrix}

II. megoldás. Legyen a

V_{2}

térfogatú tartályban a folyamat végén

N

molekula! Mivel ezek kezdetben

p_{0}

, végül pedig

p

nyomású gázt alkotnak, az entrópiájuk a folyamat során

\begin{matrix} Δ S = N \cdot k ln \frac{p_{0}}{p} \end{matrix}

értékkel változott meg (lásd a IV. osztályos tankönyv 40. oldalát). Mivel

p > p_{0}

, a gáz entrópiája csökkent, a rendszer rendezettebb állapotba került.
Igaz másrészt, hogy

Δ S = \frac{Q}{T} + σ

, ahol

Q

a rendszer által felvett hő (

T

állandó hőmérsékleten),

σ

pedig az irreverzibilis folyamatok járuléka. Esetünkben

σ = 0

, továbbá

Q < 0

, hiszen az összenyomott gáz hőt ad le a környezetének.
Mivel a feltevéseink szerint a gáz hőmérséklete, s ezzel együtt a belső energiája a folyamat során változatlan maradt,

\begin{matrix} Δ E = Q + W = 0, \end{matrix}

így

\begin{matrix} W = - Q = - T \cdot Δ S = - N k T \cdot ln \frac{p_{0}}{p} = p \cdot V_{2} \cdot ln \frac{p}{p_{0}} . \end{matrix}

Megjegyzés. A fentebb kiszámított

W

nem egyezik meg a gáz összenyomásához szükséges energiával, hanem nagyobb annál. A különbség onnan adódik, hogy a munka bizonyos hányadát a külső légnyomás ,,végzi''; a légsűrítőt működtetőnek csupán

\begin{matrix} W' = W - (p - p_{0}) V_{2} = p V_{2} [ln \frac{p}{p_{0}} - (1 - \frac{p_{0}}{p})] \end{matrix}

munkát kell végeznie. Amennyiben

p ≫ p_{0}

, úgy ez a különbség elhanyagolható, ha viszont nem törekszünk túlságosan nagy sűrítési arányra, úgy számottevő.