Kezdőlap


Feladat:	2228. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Béres Zoltán
Füzet:	1988/március, 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb elektromos mező, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/április: 2228. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk föl a gyűrűt kicsiny darabkákra és jelöljük egy-egy elemi darabjára jutó töltést $Δ Q$ -val (lásd az ábrát)!

A gyűrű össztöltése nyilván

Q = Σ Δ Q .

A gyűrű szimmetriatengelye mentén (amely a gyűrű síkjára merőleges) a térerősség szimmetria-okokból csakis tengely irányú lehet. Számítsuk ki, mekkora a

Δ Q

nagyságú töltés járuléka a térerősség ezen komponenséhez a középponttól

x

távolságban! A térerősség nagysága

| Δ E | = k \cdot Δ Q / (x^{2} + r^{2}),

továbbá

cos α = x / \sqrt[]{x^{2} + r^{2}},

így tehát

\begin{matrix} Δ E_{x} = k \cdot Δ Q \cdot \frac{x}{{(x^{2} + r^{2})}^{3 / 2}}, \end{matrix}

a teljes térerősség pedig

\begin{matrix} E (x) = Σ Δ E_{x} = k \frac{x}{{(x^{2} + r^{2})}^{3 / 2}} \cdot Σ Δ Q = k Q \cdot \frac{x}{{(x^{2} + r^{2})}^{3 / 2}} . \end{matrix}

Ennek a függvénynek annál az

x = x_{0}

-nál van maximuma, ahol az

x / {(x^{2} + r^{2})}^{3 / 2}

kifejezés a legnagyobb értékét veszi fel. Ezt vagy grafikusan, vagy egy számítógéppel numerikusan, vagy differenciálszámítással határozhatjuk meg; az eredmény

x_{0} = r / \sqrt[]{2} .

Mivel

E (x_{0}) = E_{max}

ismert, a töltés nagyságát kiszámíthatjuk és

Q = 4 \cdot 10^{- 7} C

adódik. A középponttól

x_{1} = 0,2 m

távolságban a térerősség

E (x_{1}) = 6,44 \cdot 10^{4} V/m.