Kezdőlap


Feladat:	2225. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csapó Szabolcs
Füzet:	1988/március, 137 - 138. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Bolygómozgás, Kepler törvények, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Mesterséges holdak, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/április: 2225. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a Föld sugarát $R$ -rel, tömegét $M$ -mel, a tömegvonzási állandót pedig $f$ -fel!

1. ábra

(R + h)

sugarú körpályán keringő műhold mozgásegyenlete:

\begin{matrix} f \frac{M m}{{(R + h)}^{2}} = \frac{m v_{0}^{2}}{R + h}, \end{matrix}

ahonnan a sebességére

\begin{matrix} v_{0} = \sqrt[]{\frac{f \cdot M}{R + h}} \end{matrix}

(1)

adódik.
Ha a műhold egy ellipszispályára tér át, akkor annak fél nagytengelye az 1. ábra szerint

\begin{matrix} a = \frac{2 R + h + H}{2} . \end{matrix}

(2)

Amennyiben a műhold egy

a

sugarú körpályán keringene, úgy a keringési ideje

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{a^{3}}{f M}} \end{matrix}

(3)

lenne (lásd a mozgásegyenletét!). Másrészt viszont Kepler III. törvénye szerint az ellipszis alakú pályán mozgó test keringési ideje csak a nagytengely nagyságától függ, tehát (3) általánosan nem csak kör, hanem ellipszis pályára is érvényes. (2) és (3) segítségével már válaszolhatunk a második kérdésre, kiszámíthatjuk a keringési időt. Célszerű azonban előbb

f

és

M

szorzatát a Föld felszínén mérhető

g

nehézségi gyorsulással kapcsolatba hozni :

\begin{matrix} f \cdot M = g \cdot R^{2} . \end{matrix}

(4)

R \approx 6380 km

és

g \approx 0,01 km / s^{2}

értékekkel számolva

\begin{matrix} T = 2 π \cdot \sqrt[]{\frac{{(R + \frac{h + H}{2})}^{3}}{g \cdot R^{2}}} \approx 12 óra \end{matrix}

adódik.

2. ábra

A műhold sebességének megváltozását Kepler II. törvénye segítségével számíthatjuk ki. Jelöljük

v_{1}

-gyel az ellipszispályán keringő test legnagyobb (tehát a földközelben mérhető) sebességét! Egy kicsiny

Δ t

idő alatt a műhold

v_{1} \cdot Δ t

utat tesz meg, a vezérsugár tehát ezen idő alatt

v_{1} \cdot Δ t \cdot (a - c) / 2

nagyságú területet súrol (2. ábra). A területi sebesség állandósága miatt ez a terület annyiszor kisebb az ellipszis teljes

a \cdot b \cdot π

területénél, ahányszor kisebb a

Δ t

időtartam a

T

keringési időnél:

\begin{matrix} \frac{v_{1} \cdot Δ t \cdot (a - c)}{2 \cdot a \cdot b \cdot π} = \frac{Δ t}{T} . \end{matrix}

Innen

b^{2} = a^{2} - c^{2}

és a

c = R + h,

valamint (3) felhasználásával

\begin{matrix} v_{1} = \sqrt[]{f \cdot M (\frac{2}{R + h} - \frac{1}{R + (h + H) / 2})} \end{matrix}

adódik. A numerikus adatok behelyettesítése után a sebességváltozásra végül a

\begin{matrix} v_{1} - v_{0} = 2,4 km/s \end{matrix}

értéket kapjuk.