Kezdőlap


Feladat:	2212. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csordás Zoltán Mihály , Molnár Vajk , Tóth Ildikó
Füzet:	1988/október, 329 - 330. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Súlypont (tömegközéppont) meghatározása, Tapadó súrlódás, Lineáris hőtágulás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/március: 2212. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kezdeti állapotban az $O$ pontra felírva a forgatónyomatékok egyensúlyát, meghatározhatjuk az alumíniumrész $l_{Al}$ hosszát:

\begin{matrix} ϱ_{Cu} \cdot A \cdot l_{Cu} \cdot g \cdot \frac{l_{Cu}}{2} = ϱ_{Al} \cdot A \cdot l_{Al} \cdot g \cdot \frac{l_{Al}}{2}, \end{matrix}

(1)

ahol

l_{Cu}

a réz hossza,

ϱ_{Cu}

és

ϱ_{Al}

a fémek sűrűsége,

A

a rúd keresztmetszete,

g

pedig a nehézségi gyorsulás. Innen

\begin{matrix} l_{Al} = l_{Cu} \frac{ϱ_{Cu}}{ϱ_{Al}} = 54,7 cm. \end{matrix}

A hőmérsékletváltozás hatására eltolódik a tömegközéppont, a rúd elgördül a hengeren, az elgördülés ívhossza

β \cdot R

(ld. az ábrát). Éppen mielőtt a rúd megcsúszna, a tapadási súrlódási erő a maximális, az

\begin{matrix} F_{S} = μ \cdot N \end{matrix}

(2)

értéket veszi fel. Fennáll továbbá, hogy a súrlódási erő, a henger és a rúd közt fellépő nyomóerő és a nehézségi erő eredője nulla, ahonnan:

\begin{matrix} F_{s} = tg β \cdot N . \end{matrix}

(3)

A (2) és a (3) egyenlet összevetéséből:

\begin{matrix} tg β = μ . \end{matrix}

A súlypont eltolódás mértéke

d

. Az ábrán látható trapézból

d

meghatározható:

\begin{matrix} β R = d + \frac{a}{2} tg β, \end{matrix}

\begin{matrix} d = β R - \frac{a}{2} μ = 0,149 cm, \end{matrix}

ahol

a

a rúd vastagsága.
Az utolsó lépés: a forgatónyomatékok új egyensúlyát felírva meghatározzuk, mekkora hőmérsékletváltozás hatására tolódik el a súlypont ilyen mértékben.

\begin{matrix} (\frac{l'_{Cu}}{2} + d) \cdot g \cdot ϱ_{Cu} \cdot A \cdot l_{Cu} = (\frac{l'_{Al}}{2} - d) \cdot g \cdot ϱ_{Al} \cdot A \cdot l_{Al} . \end{matrix}

Átrendezve

\begin{matrix} 2 d (ϱ_{Cu} l_{C u} + ϱ_{Al} l_{Al}) = l'_{Al} ϱ_{Al} l_{Al} - l'_{Cu} ϱ_{Cu} l_{Cu} . \end{matrix}

(4)

A lineáris hőtágulási összefüggés segítségével kifejezhetjük a vesszős értékeket:

\begin{matrix} l'_{Al} = l_{Al} (1 + α_{Al} Δ T), \end{matrix}

(5)

\begin{matrix} l'_{Cu} = l_{Cu} (1 + α_{Cu} Δ T) . \end{matrix}

A (4), (5) és az (1) összefüggést felhasználva a hőmérsékletváltozás végül:

\begin{matrix} Δ T = \frac{2 d}{α_{Al} - α_{Cu}} \cdot (\frac{1}{l_{Al}} + \frac{1}{l_{Cu}}) = 2000^{\circ} C. \end{matrix}

Ekkora hőmérsékleten, szobahőmérsékletről indulva a lineáris hőtágulás már nem igaz, sőt, a réz is és az alumínium is megolvad. Ennek az eredménynek tehát az az értelmezése, hogy melegítés hatására nem csúszhat meg a rúd.

Molnár Vajk (Nyíregyháza, Krúdy Gy. Gimn., II. o. t.)