Kezdőlap


Feladat:	2201. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csordás Zoltán Mihály
Füzet:	1988/január, 45 - 46. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Csúszó súrlódás, Szélsőérték differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/február: 2201. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A lejtőn súrlódással lecsúszó test gyorsulása: $a = g (sin α - μ cos α)$ , ahol $α$ a lejtő szöge. A lecsúszás ideje:

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{2 l}{a}}, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} l = \frac{d}{cos α} \end{matrix}

a lejtő hossza, így az idő

\begin{matrix} t = \sqrt[]{\frac{2 d}{g cos α (sin α - μ cos α)}} . \end{matrix}

Ennek értéke

α

függvényében akkor minimális, ha

g (α) \equiv cos α (sin α - μ cos α)

értéke maximális. Mivel

\begin{matrix} g (α) = cos^{2} α (tg α - μ) = \frac{tg α - μ}{1 + {tg}^{2} α}, \end{matrix}

tulajdonképpen az

f (x) \equiv \frac{x - μ}{1 + x^{2}}

függvény maximumát kell megkeresnünk. (Kihasználtuk, hogy az

x = tg α

függvény szigorúan monoton növekvő a

(0, \frac{π}{2})

intervallumban.)
Vezessük be az

x = μ + y

jelölést, ezzel

\begin{matrix} \frac{x - μ}{1 + x^{2}} = \frac{y}{1 + y^{2} + 2 μ y + μ^{2}} = \frac{1}{2 μ + \frac{1 + μ^{2}}{y} + y} . \end{matrix}

Ennek a függvénynek ott van a maximuma, ahol a nevezőben szereplő

y + \frac{1 + μ^{2}}{y}

kifejezés minimális, vagyis

y = \sqrt[]{1 + μ^{2}}

értéknél (ld. a számtani és a mértani középre vonatkozó

c / y + y ≧ 2 \cdot \sqrt[]{\frac{c}{y} \cdot y} = 2 \sqrt[]{c}

egyenlőtlenséget).
Így tehát a legrövidebb lecsúszási időt azon

α

szögnél kapjuk, melyre

\begin{matrix} tg α = μ + \sqrt[]{1 + μ^{2}}, \end{matrix}

vagyis amikor a lejtő magassága

\begin{matrix} h = d \cdot (μ + \sqrt[]{1 + μ^{2}}) . \end{matrix}

Csordás Zoltán Mihály (Esztergom, Dobó K. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján