Kezdőlap


Feladat:	2199. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóth Ildikó
Füzet:	1988/január, 44 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Impulzusmegmaradás törvénye, Impulzusváltozás törvénye (Pontrendszer impulzusa), Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/február: 2199. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. a) A leesés közben teljesül az energiamegmaradás törvénye, azaz (rögzített kocsinál):

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} = m g h + m g R sin α, \end{matrix}

(1)

ahol

α

a test helyzetét jelző szög (1. ábra).

1. ábra

A körmozgás feltétele:

\begin{matrix} N - m g sin α = m v^{2} / R, \end{matrix}

(2)

ahol

N

a golyó és a lejtő között ható kényszererő. A kocsi

F = M g + N sin α

erővel nyomja a földet, ami (1) és (2) felhasználásával

\begin{matrix} F = M \cdot g + m g sin α (2 h / R + 3 sin α) . \end{matrix}

(3)

Nyilvánvalóan látszik, hogy

α

növelésével az erő növekszik, és

α = 90^{\circ}

-nál éri el a maximális

F = 330

N értéket (

g = 10 {m/s}^{2}

).
1. b) Ha a kocsit nem rögzítjük, a helyzet jóval bonyolultabbá válik, de az erő legnagyobb értékét itt is az alsó pontban éri el.

2. ábra

Tekintsük az alsó pontbeli helyzetet (2. ábra). Itt is igaz az energiamegmaradás törvénye:

\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} M V^{2} = m g h + m g R

, ahol

v

a test sebessége,

V

pedig a kocsi sebessége a talajhoz viszonyítva. Vízszintes irányban az összimpulzus zérus kell hogy legyen, hiszen kezdetben ennyi volt, és ilyen irányú külső erő nem hatott a rendszerre, vagyis (az ábra szerint választva az irányításokat)

\begin{matrix} M V = m v . \end{matrix}

Ebben az esetben a test a kocsihoz képest végez körmozgást, és mivel a vizsgált pillanatban a kocsi már nem gyorsul, a kocsihoz rögzített koordináta-rendszer inerciarendszer. Ebben a rendszerben a körmozgás egyenlete:

\begin{matrix} N - m g = m {(v + V)}^{2} / R . \end{matrix}

A megmaradási tételekből

v

és

V

értékét kiszámíthatjuk, s ezeket

N

képletébe helyettesítve az

F = M g + N

erőre végül

450

N adódik.

2. A test centripetális gyorsulása nem függ a vonatkoztatási rendszertől, így a földhöz viszonyított pálya

r'

görbületi sugarára a

\begin{matrix} v^{2} / r' = {(v + V)}^{2} / R \end{matrix}

összefüggés érvényes. Ebből

\begin{matrix} r' = R v^{2} / {(v + V)}^{2} = 2 / 9 m . \end{matrix}

Tóth Ildikó (Sárvár, Tinódi S. Gimn. II. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés: Természetesen a mozgást leíró egyenletek tetszőleges

α

-ra felírhatóak, ekkor azonban figyelembe kell venni, hogy gyorsuló rendszerben vagyunk, s emiatt egy

m a

"tehetetlenségi erő" is fellép (3. ábra):

3. ábra

N + m a cos α - m g sin α = m [{(v_{x} + V)}^{2} + v_{y}^{2}] / R

(a kis test mozgásegyenlete),

\frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} m (v_{x}^{2} + v_{y}^{2}) = m g (h + R sin α)

(energiatétel),

M V = m v_{x}

(impulzus-tétel),

(v_{x} + V) / v_{y} = tg α

(kényszerfeltétel),

\begin{matrix} N \cdot cos α & = M \cdot a \\ F = M g & + N sin α \end{matrix}} (a kocsi mozgásegyenletei) .

Ezen egyenletek megoldásával belátható, hogy

F

maximuma valóban

α = 90^{\circ}

-nál van, bár ez nem olyan egyszerű, mint az 1. esetben.