Kezdőlap


Feladat:	2190. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss Adrienn
Füzet:	1987/november, 425 - 427. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Tökéletesen rugalmas ütközések, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/január: 2190. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. Megoldás. Vegyük fel a koordináta-rendszerünket az 1. ábrának megfelelően.

A golyót

v_{0}

kezdősebességgel,

α

szöggel elindítva a pályára a következő paraméteres egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} x = v_{0} t cos α, \\ y = v_{0} t sin α - \frac{g}{2} t^{2}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} y = x \cdot tg α - x^{2} \frac{g}{2 v_{0} cos^{2} α} . \end{matrix}

(1)

A lejtő egyenlete:

\begin{matrix} y = x \cdot tg 30^{\circ} . \end{matrix}

(2)

Az (1)‐(2) egyenletrendszer megoldása

y

-ra megadja a

h

ütközési magasságot:

\begin{matrix} h = \frac{\sqrt[]{3} \cdot 2 v_{0}^{2} cos^{2} α (3 tg α - \sqrt[]{3})}{9 g} . \end{matrix}

(3)

A hajítás során a sebesség vízszintes komponense nem változik, így az ábra jelölésének megfelelően

\begin{matrix} v_{x} = v_{0} \cdot cos α . \end{matrix}

(4)

Az ábráról leolvasható, hogy

\begin{matrix} cos δ = \frac{v_{x}}{v} . \end{matrix}

(5)

Az ütközés rugalmas, így

γ_{1} = γ_{2}

, másrészt a lejtő hajlásszöge és

γ_{2}

merőleges szárú szögek, s így egyenlőek. Mindezek alapján

\begin{matrix} δ = 30^{\circ} . \end{matrix}

(6)

A (4), (5) és (6) egyenleteket összevetve

\begin{matrix} v = \frac{2 v_{0} cos α}{\sqrt[]{3}} \end{matrix}

(7)

adódik.
Az energiamegmaradás tétele értelmében fennáll, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = m g h + \frac{1}{2} m v^{2}, \end{matrix}

amelybe a (3)-as és (7)-es kifejezéseket behelyettesítve

α

-ra az alábbi egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} sin 2 α = \frac{\sqrt[]{3}}{2} . \end{matrix}

Ennek megoldásai:

\begin{matrix} α_{1} = 30^{\circ} és α_{2} = 60^{\circ} . \end{matrix}

A fizikai szempontból értelmes eredmény:

\begin{matrix} α = 60^{\circ} . \end{matrix}

II. Megoldás. Ejtsünk egy golyót merőlegesen a lejtőre! Ekkor (amennyiben a légellenállást, s általában a sebességtől, a mozgás irányától függő, úgynevezett nem konzervatív erőket elhanyagoljuk) a golyó pontosan azt a pályát fogja visszafelé befutni, amelyet keresünk. A kérdést tehát így is feltehetjük: milyen szögben érkezik a golyó a lejtő aljához?

A 2. ábra jelölései szerint

γ_{1} = 30^{\circ}

, mivel merőleges szárú szögpárt alkot a lejtők hajlásszögével, továbbá

γ_{1} = γ_{2}

, hiszen az ütközés rugalmas. Így

α = 30^{\circ}

-os,

v_{0}

kezdősebességű hajításnak felel meg a feladat. Felírva az út‐idő függvényeket:

\begin{matrix} y = \frac{g}{2} t^{2} - v_{0} sin 30^{\circ} \cdot t, \\ x = v_{0} \cdot cos 30^{\circ} \cdot t, \end{matrix}

s felhasználva, hogy

\begin{matrix} \frac{h}{l} = tg 30^{\circ}, \end{matrix}

a talajra érkezés időpontja

\begin{matrix} t = \frac{2 v_{0}}{g} . \end{matrix}

A golyó sebességének vízszintes összetevője állandó. A függőleges komponens értéke az ütközés pillanatában:

\begin{matrix} v_{y} = v_{0} sin 30^{\circ} - g t = \frac{3}{2} v_{0}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} tg β - \frac{v_{y}}{v_{x}} = \sqrt[]{3}, \\ β = 60^{\circ} . \end{matrix}